(Simon & Blume - Exercício 18.7) Maximize f(x, y, z)=y z+x z sujeito a y^{2}+z^{2}=1 \mathrm{e} x z=3.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
f(x,y,z)=yz+xz
sob as restrições
y^{2}+z^{2}=1
e
x\,z=3.
O conteúdo é otimização com restrições; vamos usar a segunda restrição para eliminar x e reduzir o problema a duas variáveis sobre o círculo y^{2}+z^{2}=1.

Passo 2

Da restrição x\,z=3 (e assumindo z\neq0), isolamos
x = \frac{3}{z}.

Passo 3

Substituindo x=3/z em f, obtemos
f(y,z)=yz + \frac{3}{z}\,z = yz + 3.
Assim, maximizar f equivale a maximizar yz sujeito a
y^{2}+z^{2}=1.

Passo 4

Para maximizar yz no círculo y^{2}+z^{2}=1, fazemos a parametrização
y = \cos\theta,\qquad z = \sin\theta.
Então
yz = \cos\theta\,\sin\theta = \tfrac12\sin(2\theta),
e o máximo de \tfrac12\sin(2\theta) é \tfrac12, atingido quando \sin(2\theta)=1, i.e.\ 2\theta = \tfrac{\pi}{2}+2k\pi.

Passo 5

Logo o valor máximo de yz é \tfrac12, e portanto
\max f = \frac12 + 3 = \frac{7}{2}.

Passo 6

As soluções para \sin(2\theta)=1 são
\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi,
o que dá dois conjuntos de sinais iguais em (y,z):
(y,z) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 7

Finalmente, de x=3/z segue
(x,y,z) = \Bigl(3\sqrt2,\;\tfrac{1}{\sqrt2},\;\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \Bigl(-3\sqrt2,\;-\tfrac{1}{\sqrt2},\;-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr),
ambos atingindo f=7/2.

Resposta

O valor máximo é \displaystyle \frac{7}{2}, obtido em \bigl(x,y,z\bigr)=(3\sqrt2,\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2})
ou em \bigl(x,y,z\bigr)=(-3\sqrt2,-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}).

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