Calcule a integral iterada.
\int_{\pi / 2}^{\pi} \int_{0}{x{2}} \frac{1}{x} \cos \frac{y}{x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralpi/2^piintegral0^x^21xcosl(yxr),dy,dx
O conteúdo principal é usar uma troca de variável na integral interna para simplificar e depois integrar em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna
I(x)=integral0^x^21xcosl(yxr),dy
Fazemos a troca de variável u=yx, logo y=x,u e dy=x,du. Quando y=0 temos u=0 e quando y=x^2 temos u=x. Assim,
I(x)=1xintegral0^x^2cosl(yxr),dy =1xintegral0^xcos(u)l(x,dur) =integral0^xcos(u),du =sin(x)

Passo 3

Substituindo no integral original, resta calcular
integralpi/2^pisin(x),dx
Sabendo que integralsin(x),dx=-cos(x), temos
integralpi/2^pisin(x),dx =l[-cos(x)r]pi/2^pi =-cos(pi)+cosl(tfracpi2r) =-(-1)+0 =1

Resposta

1

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