(2,0) Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
EDO: y^prime+y=1+x^2 Condição inicial: y(1)=2
Solução proposta: y=x^2-2 x+3+2 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função proposta
y(x)=x^2-2x+3+2e^-x
satisfaz a EDO
y'(x)+y(x)=1+x^2
e, além disso, atende à condição inicial
y(1)=2
Para isso, vamos primeiro calcular a derivada de y e checar a EDO, depois avaliar y(1).

Passo 2

Calculamos a derivada de
y(x)=x^2-2x+3+2e^-x.
Para isso, derivamos cada termo:
  • ddx(x^2)=2x
  • ddx(-2x)=-2
  • ddx(3)=0
  • ddxl(2e^-xr)=2cdot(-1)e^-x=-2e^-x
    Logo,
y'(x)=2x-2-2e^-x

Passo 3

Somamos y'(x) e y(x):
y'(x)+y(x) =(2x-2-2e^-x)+(x^2-2x+3+2e^-x) =x^2+(2x-2x)+(-2+3)+(-2e^-x+2e^-x) =x^2+1
Portanto
y'(x)+y(x)=x^2+1,
o que coincide exatamente com o lado direito da EDO ,1+x^2. Assim, a proposta satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora avaliamos a condição inicial:
y(1)=1^2-2cdot1+3+2e^-1=1-2+3+2e^-1=2+2e
Mas a condição dada exige y(1)=2. Como
,2+2eneq2,
a função proposta não satisfaz a condição inicial.

Resposta

A função proposta satisfaz a EDO y'+y=1+x^2, mas não satisfaz a condição inicial y(1)=2.

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