(2,0) Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
EDO: y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^x Condições de contorno: y(0)=1, y^prime(x -infty)=0
Solução proposta: y=e^x

Passo 1

Beleza, o enunciado dá a EDO
y'' - 4y' + 4y = e^x
com condições de contorno
y(0)=1, limxto -inftyy'(x)=0
e propõe como solução particular
y = e^x
O que precisamos fazer é calcular as derivadas de y, substituir na EDO para ver se bate com e^x e depois checar as duas condições de contorno.

Passo 2

Calculemos
y = e^x, y' = e^x, y'' = e^x
Substituindo na EDO:
y'' - 4y' + 4y = e^x - 4e^x + 4e^x = (1 - 4 + 4)e^x = e^x
Isso coincide exatamente com o lado direito da EDO, que é e^x. Logo, y=e^x é de fato uma solução particular.

Passo 3

Agora as condições de contorno:
  1. Em x=0: y(0)=e^0 = 1, compatível com y(0)=1.
  2. No infinito à esquerda: limxto -inftyy'(x)=limxto -inftye^x = 0, compatível com limxto -inftyy'(x)=0.

Resposta

A proposta y=e^x satisfaz a EDO e atende às duas condições de contorno.

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