- Mostre que, se
é ponto crítico de
então seu gráfico possui um plano tangente horizontal em
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, se
é ponto crítico de uma função diferenciável
, então a superfície grafo de
tem um plano tangente horizontal em
. Vamos usar a definição de ponto crítico (onde as derivadas parciais se anulam) e a fórmula do plano tangente a gráficos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Como
é diferenciável em
, o plano tangente ao grafo de
em
é dado por
Aqui
e
são as derivadas parciais de
.
Por hipótese, é ponto crítico, ou seja
Por hipótese,
Substituindo na equação do plano tangente, obtemos
Passo 3
A equação
define um plano paralelo ao plano
, ou seja, um plano horizontal. Geometricamente, o vetor normal a esse plano é
, que aponta na direção vertical.
Concluímos que, sempre que for ponto crítico de
, o plano tangente ao grafo de
em
é o plano horizontal
Concluímos que, sempre que
Resposta
O plano tangente é
que é um plano horizontal.