1. Mostre que, se X0=(x0, y0) é ponto crítico de f então seu gráfico possui um plano tangente horizontal em X0.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, se ,X0=(x0,y0) é ponto crítico de uma função diferenciável fcolonR^2toR, então a superfície grafo de f tem um plano tangente horizontal em ,(x0,y0,f(x0,y0)). Vamos usar a definição de ponto crítico (onde as derivadas parciais se anulam) e a fórmula do plano tangente a gráficos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Como f é diferenciável em (x0,y0), o plano tangente ao grafo de f em l(x0,y0,f(x0,y0)r) é dado por
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui fx e fy são as derivadas parciais de f.
Por hipótese, X0=(x0,y0) é ponto crítico, ou seja
fx(x0,y0) = 0 e fy(x0,y0) = 0
Substituindo na equação do plano tangente, obtemos
z - f(x0,y0) = 0Longrightarrow z = f(x0,y0)

Passo 3

A equação z = constante define um plano paralelo ao plano xy, ou seja, um plano horizontal. Geometricamente, o vetor normal a esse plano é (0,0,1), que aponta na direção vertical.
Concluímos que, sempre que ,(x0,y0) for ponto crítico de f, o plano tangente ao grafo de f em l(x0,y0,f(x0,y0)r) é o plano horizontal
z = f(x0,y0)

Resposta

O plano tangente é
z = f(x0,y0),
que é um plano horizontal.

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