Calcule a integral iterada.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede calcular a integral iterada
- Limites:
varia de a ; para cada , varia de a ; para cada par , varia de a . - Observação útil: na integral interior a variável
aparece como fator multiplicativo mas a integração é em , então é constante em relação a .
Passo 2
Calcular a integral interior em
:
Explicação rápida da técnica: podemos tirar
para fora da integral porque ele não depende de
. A primitiva de
em relação a
é
. Portanto,
Avaliar os limites:
Assim a integral triple fica agora
Passo 3
Calcular a integral em
:
Vamos usar linearidade: separar em duas integrais.
A primeira é direta:
Para a segunda, atenção ao fator
dentro do cosseno: a primitiva de
em relação a
é
, porque ao derivar
em
aparece um fator
. Assim
Como
, isso reduz a
Portanto a integral em
é
Agora resta integrar em
:
Passo 4
Calcular a integral em
:
Primeira parte: regra da potência. A primitiva de
é
.
Segunda parte: usar substituição simples. Seja
. Então
, logo
. Assim
Portanto uma primitiva da função inteira é
(Explicação do sinal: ao integrar
aparece um sinal positivo na contribuição final, por isso o
acima.)
Passo 5
Avaliar a primitiva entre os limites
e
:
Calcular cada termo:
No ponto
:
Subtraindo: