Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x z} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x z} x^{2}\,\operatorname{sen}y\;dy\;dz\;dx.
  • Limites: \;x varia de 0 a \sqrt{\pi}; para cada x, z varia de 0 a x; para cada par (x,z), y varia de 0 a xz.
  • Observação útil: na integral interior a variável x aparece como fator multiplicativo x^{2} mas a integração é em y, então x^{2} é constante em relação a y.

Passo 2

Calcular a integral interior em y:
\int_{0}^{xz} x^{2}\,\operatorname{sen}y\;dy.
Explicação rápida da técnica: podemos tirar x^{2} para fora da integral porque ele não depende de y. A primitiva de \operatorname{sen}y em relação a y é -\cos y. Portanto,
\int_{0}^{xz} x^{2}\,\operatorname{sen}y\;dy = x^{2}\int_{0}^{xz}\operatorname{sen}y\;dy = x^{2}\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{xz}.
Avaliar os limites:
x^{2}\bigl(-\cos(xz)+\cos 0\bigr)=x^{2}\bigl(1-\cos(xz)\bigr).
Assim a integral triple fica agora
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} x^{2}\bigl(1-\cos(xz)\bigr)\;dz\;dx.

Passo 3

Calcular a integral em z:
\int_{0}^{x} x^{2}\bigl(1-\cos(xz)\bigr)\;dz.
Vamos usar linearidade: separar em duas integrais.
x^{2}\int_{0}^{x}1\;dz \;-\; x^{2}\int_{0}^{x}\cos(xz)\;dz.
A primeira é direta:
x^{2}\int_{0}^{x}1\;dz = x^{2}\cdot x = x^{3}.
Para a segunda, atenção ao fator x dentro do cosseno: a primitiva de \cos(xz) em relação a z é \dfrac{1}{x}\sin(xz), porque ao derivar \sin(xz) em z aparece um fator x. Assim
x^{2}\int_{0}^{x}\cos(xz)\;dz = x^{2}\cdot\left[\dfrac{1}{x}\sin(xz)\right]_{0}^{x} = x^{2}\cdot\left(\dfrac{1}{x}\sin(x^{2})-\dfrac{1}{x}\sin 0\right).
Como \sin 0=0, isso reduz a
x^{2}\cdot\dfrac{1}{x}\sin(x^{2})=x\sin(x^{2}).
Portanto a integral em z é
x^{3}-x\sin(x^{2}).
Agora resta integrar em x:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\bigl(x^{3}-x\sin(x^{2})\bigr)\;dx.

Passo 4

Calcular a integral em x:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x^{3}\;dx \;-\; \int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\sin(x^{2})\;dx.
Primeira parte: regra da potência. A primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}.
Segunda parte: usar substituição simples. Seja \,u=x^{2}. Então \,du=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int x\sin(x^{2})\;dx = \int \sin u\cdot \dfrac{1}{2}\,du = -\dfrac{1}{2}\cos u + C = -\dfrac{1}{2}\cos(x^{2})+C.
Portanto uma primitiva da função inteira é
F(x)=\dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{1}{2}\cos(x^{2}).
(Explicação do sinal: ao integrar -x\sin(x^{2}) aparece um sinal positivo na contribuição final, por isso o +\dfrac{1}{2}\cos(x^{2}) acima.)

Passo 5

Avaliar a primitiva entre os limites 0 e \sqrt{\pi}:
F(\sqrt{\pi})-F(0).
Calcular cada termo:
\dfrac{(\sqrt{\pi})^{4}}{4} = \dfrac{\pi^{2}}{4}, \qquad \dfrac{1}{2}\cos\bigl((\sqrt{\pi})^{2}\bigr)=\dfrac{1}{2}\cos\pi=\dfrac{1}{2}(-1)=-\dfrac{1}{2}.
No ponto 0:
\dfrac{0^{4}}{4}=0,\qquad \dfrac{1}{2}\cos(0)=\dfrac{1}{2}.
Subtraindo:
\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi^{2}}{4}-1.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{4}-1

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