Calcule a integral tripla.
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde o conjunto
é dado por desigualdades. Os dados completos do enunciado são:
- As desigualdades que definem
: -
, -
, -
.
-
- A variável de integração e o integrando:
- integrando
.
O que se pede é o valor numérico da integral tripla sobre a região.
- integrando
Passo 2
Vamos traduzir as desigualdades em limites de integração numa ordem conveniente. Observando as desigualdades:
- para cada
fixo com , o varia de até ; - para cada par
com essas restrições, o varia de até .
Portanto uma escrita correta da integral, integrando primeiro em, depois em e por último em , é
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em
:
Aqui
é tratado como constante (pois estamos integrando em
). Uma técnica eficiente é fazer a substituição adimensional
. Então:
-
, -
, - quando
temos , - quando
temos .
Substituindo na integral:
A integral
é a primitiva conhecida
, porque a derivada de
é
. Logo
Observe que, curiosamente, o resultado da integral em
não depende de
: sempre dá
.
Passo 4
Substituindo esse resultado na integral tripla, obtemos
O fator
é constante, podemos tirá-lo fora da integral:
pois
.
Agora calculemos a integral em
:
Passo 5
Multiplicando pelo fator
: