Calcule a integral tripla.
\iiint_{E} \frac{z}{x^{2}+z^{2}} d Vonde E=\{(x, y, z) \mid 0 \leq y \leq 4, y \leq z \leq 4,0 \leq x \leq z\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} \frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dV
onde o conjunto E é dado por desigualdades. Os dados completos do enunciado são:
  • As desigualdades que definem E:
    • 0 \leq y \leq 4,
    • y \leq z \leq 4,
    • 0 \leq x \leq z.
  • A variável de integração e o integrando:
    • integrando \dfrac{z}{x^{2}+z^{2}}.
      O que se pede é o valor numérico da integral tripla sobre a região E.

Passo 2

Vamos traduzir as desigualdades em limites de integração numa ordem conveniente. Observando as desigualdades:
  • para cada y fixo com 0\le y\le 4, o z varia de z=y até z=4;
  • para cada par (y,z) com essas restrições, o x varia de x=0 até x=z.
    Portanto uma escrita correta da integral, integrando primeiro em x, depois em z e por último em y, é
\iiint_{E} \frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{y=0}^{4}\int_{z=y}^{4}\int_{x=0}^{z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx\,dz\,dy.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx.
Aqui z é tratado como constante (pois estamos integrando em x). Uma técnica eficiente é fazer a substituição adimensional t=\dfrac{x}{z}. Então:
  • x=z t,
  • dx = z\,dt,
  • quando x=0 temos t=0,
  • quando x=z temos t=1.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx = \int_{t=0}^{1}\frac{z}{(z t)^{2}+z^{2}}\;z\,dt = \int_{0}^{1}\frac{z^{2}}{z^{2}(t^{2}+1)}\,dt = \int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
A integral \displaystyle \int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt é a primitiva conhecida \arctan(t), porque a derivada de \arctan(t) é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.
Observe que, curiosamente, o resultado da integral em x não depende de z: sempre dá \dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral tripla, obtemos
\iiint_{E}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dV = \int_{y=0}^{4}\int_{z=y}^{4}\frac{\pi}{4}\,dz\,dy.
O fator \dfrac{\pi}{4} é constante, podemos tirá-lo fora da integral:
= \frac{\pi}{4}\int_{y=0}^{4}\int_{z=y}^{4}1\,dz\,dy = \frac{\pi}{4}\int_{y=0}^{4}(4-y)\,dy,
pois \displaystyle \int_{z=y}^{4}1\,dz = 4-y.
Agora calculemos a integral em y:
\int_{0}^{4}(4-y)\,dy = \bigl[4y-\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{4} = \bigl(16 - \tfrac{16}{2}\bigr)-0 = 16-8=8.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \dfrac{\pi}{4}:
\iiint_{E}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dV = \frac{\pi}{4}\cdot 8 = 2\pi.

Resposta

\;2\pi

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