Calcule a integral iterada.
\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}{x{3}} \operatorname{sen} \frac{y}{x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralraizpi^raiz2piintegral0^x^3sen!l(tfracyxr),dy,dx
O conteúdo principal é usar substituição na integral interna e depois na externa.

Passo 2

Para a integral interna, fixe x e faça a troca de variável
t = yx Longrightarrow y = x,t, dy = x,dt
Quando y=0 vem t=0 e quando y=x^3 vem t=x^2. Logo
integral0^x^3sen!l(tfracyxr),dy = integral0^x^2sen(t),(x,dt) = xintegral0^x^2sen t,dt

Passo 3

Calcule a integral de sen t:
xintegral0^x^2sen t,dt = xl[-cos tr]0^x^2 = xl(1-cos(x^2)r)
Portanto a iterada vira
integralraizpi^raiz2pixl(1-cos(x^2)r),dx

Passo 4

Use agora u=x^2, logo du=2x,dx e x,dx=tfracdu2. Quando x=raizpi vem u=pi e quando x=raiz2pi vem u=2pi. Assim
integralraizpi^raiz2pixl(1-cos(x^2)r),dx = 12integralpi^2pil(1-cos ur),du

Passo 5

Calcule separadamente:
integralpi^2pi1,du = pi, integralpi^2picos u,du = l[sin ur]pi^2pi = 0-0 = 0
Logo
12l(pi - 0r) = pi2

Resposta

pi2

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