Calcule a integral iterada.
\int_{-1}^{1} \int_{-x{2}}{x{2}}\left(x{2}-y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-1^1!integral-x^2^x^2l(x^2-yr),dy,dx
Aqui o conteúdo é integração de funções de duas variáveis em coordenadas retangulares: a gente primeiro integra em y (fixo x), obtém uma função de x só, e depois integra em x.

Passo 2

Calculemos a integral interna em y:
integral-x^2^x^2l(x^2-yr),dy =integral-x^2^x^2x^2,dy ;-;integral-x^2^x^2y,dy
Pelo primeiro termo temos
integral-x^2^x^2x^2,dy =x^2l[yr]-x^2^x^2 =x^2l(x^2-(-x^2)r) =2x^4
Pelo segundo termo,
integral-x^2^x^2y,dy =y^22|-x^2^x^2 =(x^2)^22-(-x^2)^22 =x^42-x^42 =0
Portanto a integral interna vale
integral-x^2^x^2l(x^2-yr),dy =2x^4

Passo 3

Agora substituímos no integral externa:
integral-1^12x^4,dx =2integral-1^1x^4,dx
Como x^4 é função par, temos
integral-1^1x^4,dx =2integral0^1x^4,dx =2cdotx^55|0^1 =2cdot15 =25
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2integral-1^1x^4,dx =2cdot25 =45

Resposta

45

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