(2,0) Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
EDO: y^prime prime+2 y^prime+y=0 Condições iniciais: y(0)=2, y^prime(0)=-2
Solução proposta: y=2 e^-x+x e^-x

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' + 2y' + y = 0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-2, e propõe como solução
y = 2e^-x + x e^-x
Vamos verificar se essa função satisfaz a EDO (substituindo as derivadas) e depois checar as condições iniciais.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada. A derivada de 2e^-x é -2e^-x e, por regra do produto,
ddxl(x e^-xr) = e^-x + x(-e^-x) = e^-x - x e^-x
Assim,
y' = -2e^-x + l(e^-x - x e^-xr) = -e^-x - x e^-x

Passo 3

Agora a segunda derivada. Derivando y' = -e^-x - x e^-x, temos
ddx(-e^-x) = e^-x, ddx(-x e^-x) = -l(e^-x - x e^-xr) = -e^-x + x e^-x
Somando,
y'' = x e^-x
Substituindo na EDO:
y'' + 2y' + y = x e^-x + 2l(-e^-x - x e^-xr) + l(2e^-x + x e^-xr) = 0
Logo, a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Faltam as condições iniciais. Em x=0:
y(0) = 2e^0 + 0cdot e^0 = 2,
que bate com y(0)=2, mas
y'(0) = -e^0 - 0 = -1 neq -2
Portanto, a condição y'(0)=-2 não é satisfeita.

Resposta

A solução proposta satisfaz a EDO, mas não satisfaz a condição inicial y'(0)=-2 (ela dá y'(0)=-1). Logo, não é solução do problema de valor inicial.

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