Calcule a integral dupla.
\iint_{D} x^{3} d A, \quad D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant e, 0 \leqslant y \leqslant \ln x\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de \,x^3 sobre o domínio
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le e,\;0\le y\le \ln x\}.
O conteúdo é integração múltipla e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integral iterada.

Passo 2

Aplicando Fubini e integrando primeiro em y, temos
\iint_{D} x^3\,dA =\int_{x=1}^{e}\Bigl[\int_{y=0}^{\ln x}x^3\,dy\Bigr]dx =\int_{1}^{e}x^3\bigl(\ln x - 0\bigr)\,dx =\int_{1}^{e}x^3\ln x\,dx.

Passo 3

Para calcular
I=\int x^3\ln x\,dx
usamos integração por partes. Seja
u=\ln x,\quad dv=x^3\,dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx, \quad v=\frac{x^4}{4}.
Pela fórmula de partes,
I =\frac{x^4}{4}\ln x -\int\frac{x^4}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^4}{4}\ln x -\frac{1}{4}\int x^3\,dx =\frac{x^4}{4}\ln x -\frac{x^4}{16} + C.

Passo 4

Avaliamo de 1 a e:
I\Big|_{1}^{e} =\Bigl(\frac{e^4}{4}\cdot1-\frac{e^4}{16}\Bigr) -\Bigl(\frac{1^4}{4}\cdot0-\frac{1^4}{16}\Bigr) =\frac{3e^4}{16} -(-\tfrac{1}{16}) =\frac{3e^4+1}{16}.

Resposta

\iint_{D}x^3\,dA =\frac{3e^4+1}{16}.

Exercícios relacionados