Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{3} \int_{0}{\sqrt{9-y{2}}} y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada abaixo:
integral0^3 integral0^raiz9-y^2 y ,dx,dy
Este é um problema de cálculo de integrais duplas em coordenadas retangulares. Vamos primeiro integrar em x e depois em y usando substituição.

Passo 2

Ao integrar em x, temos
integral0^raiz9-y^2 y ,dx = y,x |0^raiz9-y^2 = yraiz9-y^2
Logo a integral original vira
integral0^3 yraiz9-y^2 ,dy

Passo 3

Para avaliar integral0^3 yraiz9-y^2 ,dy, usamos a substituição u = 9 - y^2, de onde du = -2y ,dy, isto é y,dy = -tfrac12,du.

Passo 4

Os limites em u são y=0Rightarrow u=9 e y=3Rightarrow u=0. Então
integral0^3 yraiz9-y^2 ,dy = integral9^0 raizu,l(-tfrac12,dur) = tfrac12 integral0^9 u^tfrac12 ,du

Passo 5

Calculando a integral em u:
integral0^9 u^tfrac12 ,du = l[tfrac23,u^tfrac32r]0^9 = tfrac23 cdot 9^tfrac32 = tfrac23 cdot 27 = 18
Multiplicando por tfrac12 resulta 9.

Resposta

9

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