Calcule a integral iterada.
\int_{1 / 4}^{1} \int_{x{2}}{x} \sqrt{\frac{x}{y}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralx=tfrac14^1;integraly=x^2^xraizxy;dy;dx
O conteúdo é integração iterada: primeiro integramos em y, tratando x como constante, depois integramos o resultado em x.

Passo 2

Calcular a integral interna
integraly=x^2^xraizxy;dy
Observando que
raizxy=x^tfrac12,y^-tfrac12,
temos
integral y^-tfrac12,dy=2,y^tfrac12
Logo
integralx^2^xx^tfrac12y^-tfrac12,dy =x^tfrac12l[2,y^tfrac12r]y=x^2^y=x =2,x^tfrac12l(x^tfrac12- (x^2)^tfrac12r) =2l(x - x^tfrac32r)

Passo 3

Substituindo no integral externa, obtemos
integraltfrac14^1l(2x - 2x^tfrac32r),dx =2integraltfrac14^1x,dx ;-;2integraltfrac14^1x^tfrac32,dx
As primitivas são
integral x,dx=x^22, integral x^tfrac32,dx=x^tfrac52tfrac52=25,x^tfrac52
Portanto o valor do integral é
2l[x^22r]tfrac14^1 -2l[25,x^tfrac52r]tfrac14^1 =l[x^2r]tfrac14^1 -45l[x^tfrac52r]tfrac14^1
Em x=1 isso vale
1^2-45,1^tfrac52=1-45=15,
e em x=tfrac14 vale
l(tfrac14r)^2 -45l(tfrac14r)^tfrac52 =116 -45cdot132 =116-140 =5-280 =380
Subtraindo, chega-se a
15-380 =1680-380 =1380

Resposta

1380

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