Calcule a integral iterada.
\int_{1}^{\frac{3}{2}} \int_{y}^{3-y} y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
I = integral1^32 integraly^,3 - y y ,dx,dy
O conteúdo é integração iterada: primeiro integramos em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em relação a x:
integralx=y^,3 - y y ,dx = y l[xr]x=y^,x=3 - y = yl((3 - y) - yr) = y(3 - 2y) = 3y - 2y^2

Passo 3

Substituímos o resultado na integral externa e obtemos
I = integral1^32 l(3y - 2y^2r),dy
A primitiva de 3y - 2y^2 é
F(y) = 32y^2 - 23y^3

Passo 4

Avaliar F(y) nos limites y=1 e y=tfrac32:
Fl(tfrac32r) = 32l(32r)^2 - 23l(32r)^3 = 278 - 94 = 98,
F(1) = 32cdot1^2 - 23cdot1^3 = 32 - 23 = 56
Logo,
I = Fl(tfrac32r) - F(1) = 98 - 56 = 27 - 2024 = 724

Resposta

724

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