Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \cos \left(x^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^xcosl(x^2r),dy,dx
Aqui vamos usar que, quando a função integrando não depende de uma das variáveis, a integração nessa variável é imediata, e depois resolver a integral simples que sobra.

Passo 2

Como cosl(x^2r) independe de y, na integral interna ele é “constante” e
integral0^xcosl(x^2r),dy =cosl(x^2r)integral0^xdy =x,cosl(x^2r)

Passo 3

Substituindo na integral externa, obtemos
integral0^1xcosl(x^2r),dx
Para calcular essa integral, fazemos a substituição u=x^2, de modo que du=2x,dx e x,dx=tfrac12,du. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1.

Passo 4

Aplicando a mudança de variável:
integral0^1xcosl(x^2r),dx =tfrac12integral0^1cos(u),du =tfrac12l[sin(u)r]0^1 =tfrac12sin(1)

Resposta

tfrac12sin(1)

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