Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{x}{e{x}} 3 x y^{2} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integralx^e^x3,x,y^2,dy,dx
O conteúdo aqui é integração dupla por partes: primeiro integramos em y (internamente) e depois em x (externamente).

Passo 2

Calculamos o integral interno em y. Note que x é constante nessa etapa.
integral 3,x,y^2,dy =3,xintegral y^2,dy =3,xcdoty^33 =x,y^3
Portanto,
integraly=x^y=e^x3,x,y^2,dy = xl(e^3x-x^3r)

Passo 3

Substituindo no integral externo em x, obtemos
integral0^1xl(e^3x-x^3r),dx =integral0^1x,e^3x,dx -integral0^1x^4,dx

Passo 4

Calculamos integral0^1x,e^3x,dx por integração por partes. Tomamos
u = x, dv = e^3x,dx Longrightarrow du = dx, v = e^3x3
Então
integral0^1x,e^3x,dx =x,e^3x3|0^1 -integral0^1e^3x3,dx =e^33 -13integral0^1e^3x,dx
E
integral0^1e^3x,dx =e^3x3|0^1 =e^3-13
Logo
integral0^1x,e^3x,dx =e^33 -13cdote^3-13 =2,e^3+19

Passo 5

Calculamos o outro termo fácil:
integral0^1x^4,dx =x^55|0^1 =15

Passo 6

Subtraindo os dois resultados:
integral0^1x,e^3x,dx -integral0^1x^4,dx =2,e^3+19-15 =5(2,e^3+1)-945 =10,e^3-445

Resposta

10,e^3-445

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