Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}{\sqrt{1-y{2}}} y \operatorname{sen} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^piintegral0^1integral0^raiz1-y^2ysin x;dz;dy;dx
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini e separação de variáveis, já que o integrando se separa em produto de função de x por função de y.

Passo 2

Perceba que ysin x não depende de z, então a integração em z é direta:
integral0^raiz1-y^2ysin x;dz =ysin x;l[zr]0^raiz1-y^2 =ysin x;raiz1-y^2

Passo 3

Substituindo na integral original, fica
integral0^piintegral0^1ysin x;raiz1-y^2;dy;dx
Como é produto de função só de x por função só de y, escrevemos
l(integral0^pisin x;dxr);l(integral0^1yraiz1-y^2;dyr)

Passo 4

Calculemos
integral0^pisin x;dx =l[-cos xr]0^pi =-cospi-(-cos0) =-(-1)-(-1) =2

Passo 5

Para
integral0^1yraiz1-y^2;dy
use u=1-y^2, du=-2y,dy. Então
integral0^1yraiz1-y^2;dy =-tfrac12integral1^0raizu;du =tfrac12integral0^1u^1/2;du =tfrac12cdottfrac23u^3/2|0^1 =tfrac13

Passo 6

Multiplicando os resultados de integral0^pisin x,dx=2 e integral0^1yraiz1-y^2,dy=tfrac13, obtemos
2cdottfrac13=tfrac23

Resposta

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