Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}{\sqrt{1-y{2}}} y \operatorname{sen} x d z d y d x
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}{\sqrt{1-y{2}}} y \operatorname{sen} x d z d y d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini e separação de variáveis, já que o integrando se separa em produto de função de
por função de
.
Passo 2
Perceba que
não depende de
, então a integração em
é direta:
Passo 3
Substituindo na integral original, fica
Como é produto de função só de
por função só de
, escrevemos
Passo 4
Calculemos
Passo 5
Para
use
,
. Então
Passo 6
Multiplicando os resultados de
integral0^pisin x,dx=2 e
integral0^1yraiz1-y^2,dy=tfrac13 , obtemos