Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{3} e^{x-y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}e^{x-y}\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada e vamos usar a propriedade de fatorar constantes em integrais e a primitiva de e^{-y}.

Passo 2

Primeiro calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{3}e^{x-y}\,dy = e^{x}\int_{0}^{3}e^{-y}\,dy = e^{x}\bigl[-e^{-y}\bigr]_{0}^{3} = e^{x}\bigl(1 - e^{-3}\bigr).

Passo 3

Agora substituímos esse resultado na integral externa em x:
\int_{0}^{2}e^{x}\bigl(1 - e^{-3}\bigr)\,dx = \bigl(1 - e^{-3}\bigr)\int_{0}^{2}e^{x}\,dx = \bigl(1 - e^{-3}\bigr)\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{2} = \bigl(1 - e^{-3}\bigr)\bigl(e^{2} - 1\bigr).

Resposta

(e^{2} - 1)\,(1 - e^{-3})

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