Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x e^{x y} d A, \quad R=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,e^{x y}\,dA,
onde R = [0,1]\times[0,1]. O conteúdo usado será o Teorema de Fubini para passar a integral dupla a uma integral iterada, e depois técnicas de integração em uma variável.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
\iint_{R} x\,e^{x y}\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\Bigl(\int_{y=0}^{1} x\,e^{x y}\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Na integral interna em y, x é constante, então
\int_{y=0}^{1} x\,e^{x y}\,dy = x \int_{0}^{1} e^{x y}\,dy.
Para \int_{0}^{1} e^{x y}\,dy usamos a primitiva de e^{x y} em y:
\int e^{x y}\,dy = \frac{1}{x}\,e^{x y},
logo
\int_{0}^{1} e^{x y}\,dy = \Bigl[\frac{1}{x}e^{x y}\Bigr]_{y=0}^{y=1} = \frac{e^{x}-1}{x}.

Passo 4

Substituindo de volta na integral interna:
\int_{y=0}^{1} x\,e^{x y}\,dy = x \cdot \frac{e^{x}-1}{x} = e^{x}-1.
Portanto a integral dupla virou
\int_{x=0}^{1} (e^{x}-1)\,dx.

Passo 5

Agora calcule em x:
\int_{0}^{1} (e^{x}-1)\,dx = \Bigl[e^{x}-x\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(e^{1}-1\bigr)-\bigl(e^{0}-0\bigr) = (e-1)-(1-0) = e-2.

Resposta

e-2

Exercícios relacionados