Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y \sqrt{x{2}-y{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^xyraizx^2-y^2,dy,dx
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição trigonométrica para integrar o termo com raizx^2 - y^2 na variável y, e depois integrar em x.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral interna em y com x fixo. Fazemos a substituição
y = xsintheta, raizx^2 - y^2 = xcostheta, dy = xcostheta,dtheta
Quando y=0 temos theta=0 e quando y=x temos theta=pi/2. Assim
integral0^xyraizx^2-y^2,dy = integral0^pi/2(xsintheta)(xcostheta)l(xcostheta,dthetar) = x^3integral0^pi/2sinthetacos^2theta,dtheta

Passo 3

Calculamos
integral0^pi/2sinthetacos^2theta,dtheta
Use u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi/2, u=0. Então
integral0^pi/2sinthetacos^2theta,dtheta = -integral1^0u^2,du = integral0^1u^2,du = [u^33]0^1 = 13
Logo a integral interna vale
x^3cdot13=x^33

Passo 4

Agora substituímos no integral sobre x:
integral0^1x^33,dx = 13integral0^1x^3,dx = 13[x^44]0^1 = 112

Resposta

112

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