Demonstre a identidade,
\delta \sqrt{|g|}=-\frac{1}{2} \sqrt{|g|} g_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede demonstrar a identidade
\delta \sqrt{|g|}=-\frac{1}{2} \sqrt{|g|} g_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu}.
  • As informações implícitas que vamos usar:
    • g_{\mu\nu} é a métrica (uma matriz simétrica invertível) e g denota o determinante da matriz g_{\mu\nu}, isto é g=\det(g_{\mu\nu}).
    • g^{\mu\nu} é a inversa da matriz g_{\mu\nu}, satisfazendo g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=\delta^\mu{}_\nu.
    • A operação \delta é uma variação (uma pequena mudança) aplicada às componentes da métrica ou à sua inversa.
  • Objetivo concreto: escrever a variação de \sqrt{|g|} em termos de \delta g^{\mu\nu}.

Passo 2

Identidade útil sobre variação de determinante (fato central).
  • Para uma matriz invertível A dependente de algum parâmetro, vale a identidade bem conhecida (vou apresentar a versão em palavras e em fórmula):
    • Variação do determinante: a variação do determinante é o determinante vezes a traça da variação do logaritmo da matriz, isto é
    \delta(\det A) = \det A\;\mathrm{tr}\!\left(A^{-1}\delta A\right).
  • Explicação curta e intuitiva dessa fórmula:
    • Uma maneira rápida de ver isso é usar \det A = e^{\mathrm{tr}(\ln A)}. Variando ambos os lados,
    \delta(\det A)=\det A\; \delta(\mathrm{tr}\ln A)=\det A\;\mathrm{tr}\!\big(\delta(\ln A)\big).
    • Para matrizes próximas da identidade, \delta(\ln A)\approx A^{-1}\delta A; fazendo isso de forma rigorosa obtém-se \mathrm{tr}(\delta\ln A)=\mathrm{tr}(A^{-1}\delta A). Assim chega-se à fórmula acima.
  • Essa é uma fórmula padrão e muito útil para determinantes.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso da métrica.
  • Tomando A=g_{\mu\nu} (a matriz da métrica), a identidade do passo anterior dá, escrevendo em notação de índices e usando convenção de soma:
\delta g = g\, g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu},
onde \delta g significa \delta(\det g_{\mu\nu}).
  • Outra forma prática, que evita sinais problemáticos com determinante negativo, é usar a variação do logaritmo do módulo do determinante:
\delta\big(\ln|g|\big)=g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}.
  • A partir daí:
\delta\sqrt{|g|}=\frac{1}{2}\sqrt{|g|}\,\delta\big(\ln|g|\big)=\frac{1}{2}\sqrt{|g|}\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}.
  • Observação: até aqui expressamos \delta\sqrt{|g|} em termos de \delta g_{\mu\nu}. O enunciado pede a forma em termos de \delta g^{\mu\nu}, então precisamos relacionar \delta g_{\mu\nu} com \delta g^{\mu\nu}.

Passo 4

Relação entre \delta g_{\mu\nu} e \delta g^{\mu\nu}.
  • Começamos da identidade de inversa:
g^{\mu\alpha} g_{\alpha\nu} = \delta^\mu{}_\nu.
  • Variando ambos os lados (a variação do lado direito é zero porque \delta^\mu{}_\nu=0):
\delta\big(g^{\mu\alpha} g_{\alpha\nu}\big)=0.
  • Aplicando a regra do produto:
(\delta g^{\mu\alpha})\, g_{\alpha\nu} + g^{\mu\alpha}\,(\delta g_{\alpha\nu}) = 0.
  • Agora queremos isolar \delta g_{\alpha\nu}. Multiplicando à esquerda por g_{\mu\beta} (ou, de forma mais direta, reindexando e resolvendo), obtemos
g^{\mu\alpha}\delta g_{\alpha\nu} = -(\delta g^{\mu\alpha})g_{\alpha\nu}.
  • Multiplicando pelo inverso g_{\mu\beta} (contratando \mu):
\delta g_{\beta\nu} = - g_{\beta\mu} (\delta g^{\mu\alpha}) g_{\alpha\nu}.
  • Reindexando para a forma simétrica habitual,
\delta g_{\mu\nu} = - g_{\mu\alpha} g_{\nu\beta} \,\delta g^{\alpha\beta}.
  • Comentário didático: essa identidade diz que a variação da métrica covariante é a variação da métrica contravariante com um sinal negativo e com “duas métricas” levantando/abaixando índices — é consequência direta de g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=\delta^\mu{}_\nu.

Passo 5

Substituir \delta g_{\mu\nu} na expressão de \delta\sqrt{|g|}.
  • Partimos de
\delta\sqrt{|g|}=\frac{1}{2}\sqrt{|g|}\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}.
  • Substituindo \delta g_{\mu\nu} = - g_{\mu\alpha} g_{\nu\beta} \delta g^{\alpha\beta} obtemos
\delta\sqrt{|g|}=\frac{1}{2}\sqrt{|g|}\,g^{\mu\nu}\big(- g_{\mu\alpha} g_{\nu\beta} \delta g^{\alpha\beta}\big).
  • Tirando o sinal negativo para fora:
\delta\sqrt{|g|}=-\frac{1}{2}\sqrt{|g|}\,g^{\mu\nu}g_{\mu\alpha} g_{\nu\beta}\,\delta g^{\alpha\beta}.

Passo 6

Simplificar as contratações de índices.
  • Faça a contração passo a passo: primeiro g^{\mu\nu}g_{\mu\alpha}=\delta^\nu{}_\alpha. Aplicando isso,
g^{\mu\nu}g_{\mu\alpha} g_{\nu\beta} = \delta^\nu{}_\alpha g_{\nu\beta} = g_{\alpha\beta}.
  • Substituindo na expressão do passo anterior:
\delta\sqrt{|g|} = -\frac{1}{2}\sqrt{|g|}\, g_{\alpha\beta} \,\delta g^{\alpha\beta}.
  • Reescrevendo com índices de soma típicos (nome de índices é arbitrário), chega-se finalmente a:
\delta\sqrt{|g|} = -\frac{1}{2}\sqrt{|g|}\, g_{\mu\nu} \,\delta g^{\mu\nu}.

Passo 7

Comentário didático final e pequena verificação.
  • Resultado encontrado coincide exatamente com a identidade pedida.
  • Verificação rápida mental: se se varia a métrica contravariante, a raiz da métrica varia com sinal negativo e com fator \tfrac{1}{2} e com contração com g_{\mu\nu} — isso aparece freqüentemente em variações de ações na relatividade geral, por exemplo ao variar \sqrt{|g|}.

Resposta

\delta \sqrt{|g|}=-\dfrac{1}{2} \sqrt{|g|} g_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu}

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