Demonstre a identidade,
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede demonstrar a identidade
- As informações implícitas que vamos usar:
-
é a métrica (uma matriz simétrica invertível) e denota o determinante da matriz , isto é . -
é a inversa da matriz , satisfazendo . - A operação
é uma variação (uma pequena mudança) aplicada às componentes da métrica ou à sua inversa.
-
- Objetivo concreto: escrever a variação de
em termos de .
Passo 2
Identidade útil sobre variação de determinante (fato central).
- Para uma matriz invertível
dependente de algum parâmetro, vale a identidade bem conhecida (vou apresentar a versão em palavras e em fórmula): - Variação do determinante: a variação do determinante é o determinante vezes a traça da variação do logaritmo da matriz, isto é
- Explicação curta e intuitiva dessa fórmula:
- Uma maneira rápida de ver isso é usar
. Variando ambos os lados,
- Para matrizes próximas da identidade,
; fazendo isso de forma rigorosa obtém-se . Assim chega-se à fórmula acima.
- Uma maneira rápida de ver isso é usar
- Essa é uma fórmula padrão e muito útil para determinantes.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso da métrica.
- Tomando
(a matriz da métrica), a identidade do passo anterior dá, escrevendo em notação de índices e usando convenção de soma:
onde
significa
.
- Outra forma prática, que evita sinais problemáticos com determinante negativo, é usar a variação do logaritmo do módulo do determinante:
- A partir daí:
- Observação: até aqui expressamos
em termos de . O enunciado pede a forma em termos de , então precisamos relacionar com .
Passo 4
Relação entre
e
.
- Começamos da identidade de inversa:
- Variando ambos os lados (a variação do lado direito é zero porque
):
- Aplicando a regra do produto:
- Agora queremos isolar
. Multiplicando à esquerda por (ou, de forma mais direta, reindexando e resolvendo), obtemos
- Multiplicando pelo inverso
(contratando ):
- Reindexando para a forma simétrica habitual,
- Comentário didático: essa identidade diz que a variação da métrica covariante é a variação da métrica contravariante com um sinal negativo e com “duas métricas” levantando/abaixando índices — é consequência direta de
.
Passo 5
Substituir
na expressão de
.
- Partimos de
- Substituindo
obtemos
- Tirando o sinal negativo para fora:
Passo 6
Simplificar as contratações de índices.
- Faça a contração passo a passo: primeiro
. Aplicando isso,
- Substituindo na expressão do passo anterior:
- Reescrevendo com índices de soma típicos (nome de índices é arbitrário), chega-se finalmente a:
Passo 7
Comentário didático final e pequena verificação.
- Resultado encontrado coincide exatamente com a identidade pedida.
- Verificação rápida mental: se se varia a métrica contravariante, a raiz da métrica varia com sinal negativo e com fator
e com contração com — isso aparece freqüentemente em variações de ações na relatividade geral, por exemplo ao variar .