No sistema mola-massa do Problema 31, suponha que a força exercida pela mola não é dada pela lei de Hooke, mas, em vez disso, satisfaz a relação
onde
e
é pequeno em módulo, mas pode ter qualquer sinal. A mola é considerada “dura” se
e “mole” se
. Por que esses termos são apropriados?
(a) Mostre que o deslocamento
da massa a partir de sua posição de equilíbrio satisfaz a equação diferencial
Suponha que as condições iniciais são
No restante deste problema, suponha que
e
.
(b) Encontre
quando
e determine, também, a amplitude e o período do movimento.
(c) Seja
. Faça o gráfico de uma aproximação numérica da solução. Esse movimento parece ser periódico? Se for, estime a amplitude e o período.
(d) Repita o item (c) para
e
.
(e) Coloque em um gráfico os valores estimados da amplitude
e do período
em função de
. Descreva a maneira segundo a qual
e
, respectivamente, dependem de
.
(f) Repita os itens (c), (d) e (e) para valores negativos de
.
(a) Mostre que o deslocamento
(b) Encontre
(c) Seja
(d) Repita o item (c) para
(e) Coloque em um gráfico os valores estimados da amplitude
(f) Repita os itens (c), (d) e (e) para valores negativos de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (já peguei todos os dados do enunciado).
- Força da mola:
com
e
pequeno (pode ser positivo ou negativo). A mola é dita “dura” se
e “mole” se
.
- Equilíbrio:
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio. - Condições iniciais:
- No restante:
(caso sem amortecimento).
O enunciado pede:
(a) Mostrar que
satisfaz a equação diferencial
(b) No caso
: encontrar
, amplitude e período.
(c) Para : fazer gráfico numérico da solução, dizer se é periódico e estimar amplitude e período.
(d) Repetir (c) para e
.
(e) Fazer gráfico (ou listar) os valores estimados de amplitude e período
em função de
e descrever dependência de
e
em relação a
.
(f) Repetir (c)-(e) para negativos.
(c) Para
(d) Repetir (c) para
(e) Fazer gráfico (ou listar) os valores estimados de amplitude
(f) Repetir (c)-(e) para
A partir do enunciado, vou seguir: (1) derivar a EDO e justificar os sinais; (2) resolver o caso linear; (3) usar conservação de energia para obter amplitude em função de
; (4) escrever a fórmula do período como integral e dar uma forma prática de calcular/estimar; (5) calcular valores numéricos e discutir comportamento para
positivos e negativos (incluindo limite onde não há movimento periódico).
Passo 2
Derivação da equação do movimento (item (a)), com explicação física.
- Newton diz que massa vezes aceleração é a soma das forças aplicadas:
. Aqui temos a força elástica apontando para o centro (sinal negativo) e, no enunciado geral, um termo de amortecimento linear (se presente). - Portanto, a soma das forças vale
. - Substituindo
obtemos:
- Reescrevendo todos os termos no mesmo membro:
Isto é exatamente a equação pedida. Observação física rápida: o sinal de
segue a mesma orientação que o termo linear
; se
o termo cúbico aumenta a força restauradora para deslocamentos grandes (mola “dura”); se
ele reduz a força restauradora para deslocamentos grandes (mola “mole”).
Passo 3
Caso linear
com
(item (b)): resolução passo a passo.
- Com esses valores a equação fica
- Equação harmônica usual. A solução geral é combinação de seno e cosseno:
pois
tem frequência natural
.
- Usar as condições iniciais
e : -
. -
, então .
-
- Logo
- Amplitude
: amplitude é o valor máximo absoluto de ; para temos . - Período
: período da função é . Então .
Comentário didático: aqui tudo é explícito porque sistema linear. Na prova, identificar
, escrever solução trigonométrica e aplicar condições iniciais é padrão.
Passo 4
Energia e determinação da amplitude para
(caso conservativo). (este passo será usado para (c)-(f))
- Para
a equação é conservativa:
- Multiplicando ambos os lados por
e integrando em obtemos a conservação de energia (explicando: e , etc.). O resultado é:
- Com nossas condições iniciais
e obtemos energia inicial
- Amplitude
é o máximo deslocamento, i.e., ponto onde a velocidade é zero: substituir e em :
- Multiplicar por
e chamar dá uma quadrática em :
- Resolvente (para
):
Devemos escolher a raiz positiva (pois
). Note que quando
a expressão tem forma indeterminada; usando limite ou expansão de Taylor obtém-se
, portanto
(compatível com o caso linear).
- Assim a amplitude é
e
por continuidade.
Observação importante sobre existência de amplitude real: o discriminante
deve ser não negativo para a fórmula (com energia dada) produzir uma solução real. Portanto, se
temos
e não existe solução real positiva
para a equação de energia com
: isso significa que, para
, a energia inicial é superior ao máximo da energia de ligação e a partícula pode escapar para valores arbitrariamente grandes de
(potencial não confiante), i.e., não há movimento oscilatório limitado. Para nossos pequenos valores negativos
isso não acontece (pois
).
Passo 5
Cálculo numérico das amplitudes para os valores pedidos (itens (c),(d),(f)), usando a fórmula do passo anterior. Vou mostrar as contas e arredondar a três casas decimais.
Fórmula trabalhada:
(para
), e
. Para
temos
.
-
: -
. -
. -
.
-
-
: -
. -
. -
.
-
-
: -
. -
. -
.
-
Agora valores negativos:
-
: -
. -
. -
.
-
-
: -
. -
. -
.
-
-
: -
. -
. -
.
-
Interpretação imediata: para
(mola dura) a amplitude é menor que
; para
(mola mole) a amplitude é maior que
. Isso explica por que os termos “dura” e “mole” são apropriados: mola dura aumenta a resistência a grandes deslocamentos (reduz amplitude), mola mole diminui a resistência (aumenta amplitude).
Passo 6
Cálculo/estimação do período
. Forma exata em quadratura e método prático para estimar numericamente; depois valores aproximados usando fórmula perturbativa.
- A partir da conservação de energia, escrevemos
pois
e
.
- O período (tempo para ir de
até e voltar) é
Isto é uma integral elíptica (depende de
) que normalmente é avaliada numericamente.
-
Métodos práticos para obter
numa prova ou num computador: - Numérico direto: resolver a EDO
com método de Runge–Kutta (RK4) e medir o tempo entre cruzamentos sucessivos de com mesma direção (isto dá o período). É simples de programar e robusto. - Calcular a integral acima com regra de Simpson ou Gauss adaptativa: usar divisão do intervalo
e avaliar a integral numericamente. - Para
pequeno, usar expansão perturbativa (fórmula conhecida para oscilador de Duffing): a frequência é aproximada por
Comopara pequeno, a correção principal é . Então o período é (expansão até primeira ordem em). Esta fórmula mostra o efeito qualitativo: para (mola dura) aumenta e diminui; para aumenta. - Numérico direto: resolver a EDO
-
Usando a aproximação de primeira ordem e tomando
(válida para pequenos ): -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
-
Observações sobre periodicidade: para os
analisados (
) o movimento é periódico e quase sinusoidal, com amplitude e período levemente modificados. Para
negativos com grande magnitude (onde
, i.e.,
) a integral para
não tem sentido (não há ponto de retorno finito) e o movimento não é oscilatório limitado — a massa pode escapar (potencial não contendo).
Passo 7
Como fazer os gráficos numéricos (item (c),(d) pedem “Faça o gráfico”) — instruções práticas e o que esperar.
- Método sugerido (fácil e robusto):
- Reescrever a EDO de segunda ordem como sistema de primeira ordem:
com . - Usar um integrador numérico (RK4 ou solver adaptativo) com passo pequeno, por exemplo passo
ou menor, integrar de até para ver várias oscilações. - Traçar
versus e observar se o padrão se repete (periodicidade). Para estimar , marcar tempos entre cruzamentos positivos sucessivos de com (ou entre máximos) e tirar média. Para amplitude, pegar o valor máximo absoluto de num período (ou usar a fórmula de energia do passo 4).
- Reescrever a EDO de segunda ordem como sistema de primeira ordem:
- O que se verá nos gráficos:
- Para
(mola dura): oscilações levemente mais rápidas e com amplitude menor do que 1; forma da onda ligeiramente “achatada” nos topos (mais não-senoidal). - Para
(mola mole): oscilações mais lentas e amplitude maior que 1; se for muito negativo pode-se ver crescimento sem retorno (escape).
- Para
Passo 8
Resumo final e descrição de como
e
dependem de
(item (e) e parte de (f)).
- Amplitude
: função dada implicitamente pela energia; explicitamente,
Numericamente, para os valores testados:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Assim:diminui quando cresce (mola mais dura → amplitude menor) e aumenta quando fica mais negativo (mola mais mole → amplitude maior). Para não há amplitude finita com a energia dada (movimento não confinado). -
Período
: pode ser calculado pela integral elíptica
Para
pequeno, aproximadamente
Numericamente (aproximação de primeira ordem):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Assim: parao período diminui (frequência aumenta) e para período aumenta (frequência diminui). Essa tendência está de acordo com a intuição física: termo com aumenta rigidez para grandes , tornando o oscilador mais rápido; suaviza a rigidez e torna-o mais lento.
Passo 9
Orientações finais rápidas para a prova/experiência de cálculo:
- Se pedirem apenas amplitude, use a conservação de energia e resolva a quadrática em
(Passo 4). - Se pedirem período com boa precisão, faça uma integração numérica da integral do Passo 6 ou integre a ODE numericamente e meça os tempos entre máximos. A fórmula perturbativa
é ótima para . - Cuidado com
: aí a energia inicial dada não garante movimento confinado (não há amplitude real).
Resposta
(a)
(b)
Amplitude
Período
Amplitude
Período
(c)
movimento periódico; amplitude
; período
(estimativa de primeira ordem).
(d)
(e) Valores estimados
e
(resumo):
Dependência: diminui com
(mola mais dura → amplitude menor) e aumenta com
(mola mais mole → amplitude maior).
diminui com
e aumenta com
(aproximação linear
).
Dependência:
(f) Valores negativos (resumo):
Observação: para não há amplitude real com a energia inicial dada (movimento deixa de ser oscilatório limitado).
Observação: para