No sistema mola-massa do Problema 31, suponha que a força exercida pela mola não é dada pela lei de Hooke, mas, em vez disso, satisfaz a relação
F_{m}=-\left(k s+\epsilon s^{3}\right),
onde k>0 e \epsilon é pequeno em módulo, mas pode ter qualquer sinal. A mola é considerada “dura” se \epsilon>0 e “mole” se \epsilon<0. Por que esses termos são apropriados?
(a) Mostre que o deslocamento s(t) da massa a partir de sua posição de equilíbrio satisfaz a equação diferencial
m s^{\prime \prime}+\gamma s^{\prime}+k s+\epsilon s^{3}=0 .
Suponha que as condições iniciais são
s(0)=0, \quad s^{\prime}(0)=1 .
No restante deste problema, suponha que m=1, k=1 e \gamma=0.
(b) Encontre s(t) quando \epsilon=0 e determine, também, a amplitude e o período do movimento.
(c) Seja \epsilon=0,1. Faça o gráfico de uma aproximação numérica da solução. Esse movimento parece ser periódico? Se for, estime a amplitude e o período.
(d) Repita o item (c) para \epsilon=0,2 e \epsilon=0,3.
(e) Coloque em um gráfico os valores estimados da amplitude A e do período T em função de \epsilon. Descreva a maneira segundo a qual A e T, respectivamente, dependem de \epsilon.
(f) Repita os itens (c), (d) e (e) para valores negativos de \epsilon.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (já peguei todos os dados do enunciado).
  • Força da mola: F_{m}=-\bigl(k s+\epsilon s^{3}\bigr),
com k>0 e \epsilon pequeno (pode ser positivo ou negativo). A mola é dita “dura” se \epsilon>0 e “mole” se \epsilon<0.
  • Equilíbrio: s(t) é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio.
  • Condições iniciais: s(0)=0,\qquad s'(0)=1.
  • No restante: m=1,\\ k=1,\\ \gamma=0 (caso sem amortecimento).
O enunciado pede:
(a) Mostrar que s(t) satisfaz a equação diferencial m s''+\gamma s'+k s+\epsilon s^{3}=0.
(b) No caso m=1,k=1,\gamma=0,\epsilon=0: encontrar s(t), amplitude e período.
(c) Para \epsilon=0{,}1: fazer gráfico numérico da solução, dizer se é periódico e estimar amplitude e período.
(d) Repetir (c) para \epsilon=0{,}2 e \epsilon=0{,}3.
(e) Fazer gráfico (ou listar) os valores estimados de amplitude A e período T em função de \epsilon e descrever dependência de A e T em relação a \epsilon.
(f) Repetir (c)-(e) para \epsilon negativos.
A partir do enunciado, vou seguir: (1) derivar a EDO e justificar os sinais; (2) resolver o caso linear; (3) usar conservação de energia para obter amplitude em função de \epsilon; (4) escrever a fórmula do período como integral e dar uma forma prática de calcular/estimar; (5) calcular valores numéricos e discutir comportamento para \epsilon positivos e negativos (incluindo limite onde não há movimento periódico).

Passo 2

Derivação da equação do movimento (item (a)), com explicação física.
  • Newton diz que massa vezes aceleração é a soma das forças aplicadas: m s'' = \sum F. Aqui temos a força elástica F_m apontando para o centro (sinal negativo) e, no enunciado geral, um termo de amortecimento linear -\gamma s' (se presente).
  • Portanto, a soma das forças vale F_{\text{total}} = -\gamma s' + F_{m}.
  • Substituindo F_{m}=-\bigl(k s+\epsilon s^{3}\bigr) obtemos:
m s'' = -\gamma s' -\bigl(k s+\epsilon s^{3}\bigr).
  • Reescrevendo todos os termos no mesmo membro:
m s''+\gamma s'+k s+\epsilon s^{3}=0.
Isto é exatamente a equação pedida. Observação física rápida: o sinal de \epsilon s^3 segue a mesma orientação que o termo linear k s; se \epsilon>0 o termo cúbico aumenta a força restauradora para deslocamentos grandes (mola “dura”); se \epsilon<0 ele reduz a força restauradora para deslocamentos grandes (mola “mole”).

Passo 3

Caso linear \epsilon=0 com m=1,k=1,\gamma=0 (item (b)): resolução passo a passo.
  • Com esses valores a equação fica
s''+s=0.
  • Equação harmônica usual. A solução geral é combinação de seno e cosseno:
s(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
pois s''+s=0 tem frequência natural 1.
  • Usar as condições iniciais s(0)=0 e s'(0)=1:
    • s(0)=C_{1}=0.
    • s'(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t, então s'(0)=C_{2}=1.
  • Logo
s(t)=\sin t.
  • Amplitude A: amplitude é o valor máximo absoluto de s(t); para \sin t temos A=1.
  • Período T: período da função \sin t é 2\pi. Então T=2\pi.
Comentário didático: aqui tudo é explícito porque sistema linear. Na prova, identificar s''+s=0, escrever solução trigonométrica e aplicar condições iniciais é padrão.

Passo 4

Energia e determinação da amplitude para \gamma=0 (caso conservativo). (este passo será usado para (c)-(f))
  • Para \gamma=0 a equação é conservativa:
s'' + k s + \epsilon s^3 = 0 \qquad(\text{com }m=1).
  • Multiplicando ambos os lados por s' e integrando em t obtemos a conservação de energia (explicando: s'' s' = \tfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{1}{2} s'^2\bigr) e s s' = \tfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{1}{2} s^2\bigr), etc.). O resultado é:
E=\tfrac{1}{2}s'^2 + \tfrac{1}{2} k s^2 + \tfrac{1}{4}\epsilon s^4 = \text{const}.
  • Com nossas condições iniciais s(0)=0,\\ s'(0)=1 e k=1 obtemos energia inicial
E_0 = \tfrac{1}{2}\cdot 1^2 + 0 + 0 = \tfrac{1}{2}.
  • Amplitude A é o máximo deslocamento, i.e., ponto onde a velocidade é zero: substituir s=A e s'=0 em E:
\tfrac{1}{2}\,A^{2} + \tfrac{1}{4}\,\epsilon A^{4} = \tfrac{1}{2}.
  • Multiplicar por 2 e chamar y=A^{2} dá uma quadrática em y:
y + \tfrac{\epsilon}{2} y^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\epsilon}{2}y^{2} + y - 1 = 0.
  • Resolvente (para \epsilon\neq 0):
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1+2\epsilon}}{\epsilon}.
Devemos escolher a raiz positiva (pois y=A^2\ge 0). Note que quando \epsilon\to 0 a expressão tem forma indeterminada; usando limite ou expansão de Taylor obtém-se y\to 1, portanto A\to 1 (compatível com o caso linear).
  • Assim a amplitude é
A(\epsilon)=\sqrt{y}=\sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1+2\epsilon}}{\epsilon}}\quad(\text{para }\epsilon\neq 0),
e A(0)=1 por continuidade.
Observação importante sobre existência de amplitude real: o discriminante 1+2\epsilon deve ser não negativo para a fórmula (com energia dada) produzir uma solução real. Portanto, se \epsilon < -\tfrac{1}{2} temos 1+2\epsilon<0 e não existe solução real positiva A para a equação de energia com E_0=\tfrac{1}{2}: isso significa que, para \epsilon\le -\tfrac{1}{2}, a energia inicial é superior ao máximo da energia de ligação e a partícula pode escapar para valores arbitrariamente grandes de |s| (potencial não confiante), i.e., não há movimento oscilatório limitado. Para nossos pequenos valores negativos \epsilon=-0{,}1,-0{,}2,-0{,}3 isso não acontece (pois 1+2\epsilon>0).

Passo 5

Cálculo numérico das amplitudes para os valores pedidos (itens (c),(d),(f)), usando a fórmula do passo anterior. Vou mostrar as contas e arredondar a três casas decimais.
Fórmula trabalhada: y=A^{2}=\dfrac{-1+\sqrt{1+2\epsilon}}{\epsilon} (para \epsilon\neq 0), e A=\sqrt{y}. Para \epsilon=0 temos A=1.
  • \epsilon=0{,}1:
    • \sqrt{1+2\epsilon}=\sqrt{1{,}2}\approx1{,}095445.
    • y=( -1 +1{,}095445)/0{,}1 =0{,}95445.
    • A=\sqrt{0{,}95445}\approx0{,}977.
  • \epsilon=0{,}2:
    • \sqrt{1{,}4}\approx1{,}183216.
    • y=( -1 +1{,}183216)/0{,}2 =0{,}91608.
    • A\approx\sqrt{0{,}91608}\approx0{,}957.
  • \epsilon=0{,}3:
    • \sqrt{1{,}6}\approx1{,}264911.
    • y=( -1 +1{,}264911)/0{,}3 =0{,}883037.
    • A\approx\sqrt{0{,}883037}\approx0{,}940.
Agora valores negativos:
  • \epsilon=-0{,}1:
    • \sqrt{1+2\epsilon}=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}894427.
    • y=( -1 +0{,}894427)/(-0{,}1)=1{,}055728.
    • A\approx\sqrt{1{,}055728}\approx1{,}027.
  • \epsilon=-0{,}2:
    • \sqrt{0{,}6}\approx0{,}774597.
    • y=( -1 +0{,}774597)/(-0{,}2)=1{,}127016.
    • A\approx\sqrt{1{,}127016}\approx1{,}062.
  • \epsilon=-0{,}3:
    • \sqrt{0{,}4}\approx0{,}632456.
    • y=( -1 +0{,}632456)/(-0{,}3)=1{,}225148.
    • A\approx\sqrt{1{,}225148}\approx1{,}107.
Interpretação imediata: para \epsilon>0 (mola dura) a amplitude é menor que 1; para \epsilon<0 (mola mole) a amplitude é maior que 1. Isso explica por que os termos “dura” e “mole” são apropriados: mola dura aumenta a resistência a grandes deslocamentos (reduz amplitude), mola mole diminui a resistência (aumenta amplitude).

Passo 6

Cálculo/estimação do período T. Forma exata em quadratura e método prático para estimar numericamente; depois valores aproximados usando fórmula perturbativa.
  • A partir da conservação de energia, escrevemos
s' = \pm\sqrt{2\bigl(E_0 - V(s)\bigr)} = \pm\sqrt{1 - s^{2} - \tfrac{\epsilon}{2}s^{4}},
pois 2E_0=1 e 2V(s)=s^{2}+\tfrac{\epsilon}{2}s^{4}.
  • O período (tempo para ir de s=-A até s=+A e voltar) é
T = 4\int_{0}^{A} \frac{ds}{\sqrt{1 - s^{2} - \tfrac{\epsilon}{2}s^{4}}}.
Isto é uma integral elíptica (depende de \epsilon) que normalmente é avaliada numericamente.
  • Métodos práticos para obter T numa prova ou num computador:
    1. Numérico direto: resolver a EDO s'' + s + \epsilon s^{3}=0 com método de Runge–Kutta (RK4) e medir o tempo entre cruzamentos sucessivos de s=0 com mesma direção (isto dá o período). É simples de programar e robusto.
    2. Calcular a integral acima com regra de Simpson ou Gauss adaptativa: usar divisão do intervalo [0,A] e avaliar a integral numericamente.
    3. Para \epsilon pequeno, usar expansão perturbativa (fórmula conhecida para oscilador de Duffing): a frequência \omega é aproximada por
    \omega \approx 1 + \frac{3}{8}\,\epsilon A^{2} + \text{(termos de ordem }\epsilon^{2}\text{)}.
    Como A\approx 1 para \epsilon pequeno, a correção principal é \omega\approx 1 + \tfrac{3}{8}\epsilon. Então o período é
    T \approx \frac{2\pi}{\omega} \approx 2\pi\Bigl(1 - \tfrac{3}{8}\epsilon\Bigr)
    (expansão até primeira ordem em \epsilon). Esta fórmula mostra o efeito qualitativo: para \epsilon>0 (mola dura) \omega aumenta e T diminui; para \epsilon<0 T aumenta.
  • Usando a aproximação de primeira ordem e tomando A\approx 1 (válida para pequenos |\epsilon|):
    • \epsilon=0: T=2\pi\approx6{,}283.
    • \epsilon=0{,}1: T\approx 2\pi(1-3\cdot0{,}1/8)=2\pi(0{,}9625)\approx6{,}049.
    • \epsilon=0{,}2: T\approx 2\pi(0{,}925)\approx5{,}813.
    • \epsilon=0{,}3: T\approx 2\pi(0{,}8875)\approx5{,}578.
    • \epsilon=-0{,}1: T\approx 2\pi(1+0{,}0375)\approx6{,}516.
    • \epsilon=-0{,}2: T\approx 2\pi(1+0{,}075)\approx6{,}752.
    • \epsilon=-0{,}3: T\approx 2\pi(1+0{,}1125)\approx6{,}985.
Observações sobre periodicidade: para os \epsilon analisados ( \pm0{,}1,\pm0{,}2,\pm0{,}3) o movimento é periódico e quase sinusoidal, com amplitude e período levemente modificados. Para \epsilon negativos com grande magnitude (onde 1+2\epsilon\le 0, i.e., \epsilon\le -\tfrac{1}{2}) a integral para T não tem sentido (não há ponto de retorno finito) e o movimento não é oscilatório limitado — a massa pode escapar (potencial não contendo).

Passo 7

Como fazer os gráficos numéricos (item (c),(d) pedem “Faça o gráfico”) — instruções práticas e o que esperar.
  • Método sugerido (fácil e robusto):
    1. Reescrever a EDO de segunda ordem como sistema de primeira ordem: \begin{cases} s' = v,\\\ v' = -s - \epsilon s^{3}. \end{cases}com s(0)=0,\\ v(0)=1.
    2. Usar um integrador numérico (RK4 ou solver adaptativo) com passo pequeno, por exemplo passo h=0{,}01 ou menor, integrar de t=0 até t\approx 50 para ver várias oscilações.
    3. Traçar s(t) versus t e observar se o padrão se repete (periodicidade). Para estimar T, marcar tempos entre cruzamentos positivos sucessivos de s=0 com v>0 (ou entre máximos) e tirar média. Para amplitude, pegar o valor máximo absoluto de s num período (ou usar a fórmula de energia do passo 4).
  • O que se verá nos gráficos:
    • Para \epsilon>0 (mola dura): oscilações levemente mais rápidas e com amplitude menor do que 1; forma da onda ligeiramente “achatada” nos topos (mais não-senoidal).
    • Para \epsilon<0 (mola mole): oscilações mais lentas e amplitude maior que 1; se \epsilon for muito negativo pode-se ver crescimento sem retorno (escape).

Passo 8

Resumo final e descrição de como A e T dependem de \epsilon (item (e) e parte de (f)).
  • Amplitude A(\epsilon): função dada implicitamente pela energia; explicitamente,
A(0)=1,\qquad A(\epsilon)=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+2\epsilon}}{\epsilon}}\quad(\epsilon\neq 0).
Numericamente, para os valores testados:
  • \epsilon=0{,}0:\\ A=1{,}000.
  • \epsilon=0{,}1:\\ A\approx0{,}977.
  • \epsilon=0{,}2:\\ A\approx0{,}957.
  • \epsilon=0{,}3:\\ A\approx0{,}940.
  • \epsilon=-0{,}1:\\ A\approx1{,}027.
  • \epsilon=-0{,}2:\\ A\approx1{,}062.
  • \epsilon=-0{,}3:\\ A\approx1{,}107.
    Assim: A diminui quando \epsilon>0 cresce (mola mais dura → amplitude menor) e aumenta quando \epsilon<0 fica mais negativo (mola mais mole → amplitude maior). Para \epsilon\le -\tfrac{1}{2} não há amplitude finita com a energia dada (movimento não confinado).
  • Período T(\epsilon): pode ser calculado pela integral elíptica
T(\epsilon)=4\int_{0}^{A(\epsilon)} \frac{ds}{\sqrt{1 - s^{2} - \tfrac{\epsilon}{2}s^{4}}}.
Para |\epsilon| pequeno, aproximadamente
T \approx 2\pi\Bigl(1 - \tfrac{3}{8}\epsilon\Bigr).
Numericamente (aproximação de primeira ordem):
  • \epsilon=0{,}0:\\ T=2\pi\approx6{,}283.
  • \epsilon=0{,}1:\\ T\approx6{,}049.
  • \epsilon=0{,}2:\\ T\approx5{,}813.
  • \epsilon=0{,}3:\\ T\approx5{,}578.
  • \epsilon=-0{,}1:\\ T\approx6{,}516.
  • \epsilon=-0{,}2:\\ T\approx6{,}752.
  • \epsilon=-0{,}3:\\ T\approx6{,}985.
    Assim: para \epsilon>0 o período diminui (frequência aumenta) e para \epsilon<0 período aumenta (frequência diminui). Essa tendência está de acordo com a intuição física: termo \epsilon s^3 com \epsilon>0 aumenta rigidez para grandes s, tornando o oscilador mais rápido; \epsilon<0 suaviza a rigidez e torna-o mais lento.

Passo 9

Orientações finais rápidas para a prova/experiência de cálculo:
  • Se pedirem apenas amplitude, use a conservação de energia e resolva a quadrática em y=A^2 (Passo 4).
  • Se pedirem período com boa precisão, faça uma integração numérica da integral do Passo 6 ou integre a ODE numericamente e meça os tempos entre máximos. A fórmula perturbativa T\approx 2\pi(1-\tfrac{3}{8}\epsilon) é ótima para |\epsilon|\lesssim 0{,}3.
  • Cuidado com \epsilon\le -\tfrac{1}{2}: aí a energia inicial dada não garante movimento confinado (não há amplitude real).

Resposta

(a) m s''+\gamma s'+k s+\epsilon s^{3}=0.
(b) s(t)=\sin t.
Amplitude A=1.
Período T=2\pi\approx6{,}283.
(c) \epsilon=0{,}1: movimento periódico; amplitude A\approx0{,}977; período T\approx6{,}049 (estimativa de primeira ordem).
(d) \epsilon=0{,}2:\\ A\approx0{,}957,\\ T\approx5{,}813.
\epsilon=0{,}3:\\ A\approx0{,}940,\\ T\approx5{,}578.
(e) Valores estimados A(\epsilon) e T(\epsilon) (resumo):
\epsilon=0{,}0:\\ A=1{,}000,\\ T=6{,}283.
\epsilon=0{,}1:\\ A\approx0{,}977,\\ T\approx6{,}049.
\epsilon=0{,}2:\\ A\approx0{,}957,\\ T\approx5{,}813.
\epsilon=0{,}3:\\ A\approx0{,}940,\\ T\approx5{,}578.
Dependência: A diminui com \epsilon>0 (mola mais dura → amplitude menor) e aumenta com \epsilon<0 (mola mais mole → amplitude maior). T diminui com \epsilon>0 e aumenta com \epsilon<0 (aproximação linear T\approx2\pi(1-\tfrac{3}{8}\epsilon)).
(f) Valores negativos (resumo):
\epsilon=-0{,}1:\\ A\approx1{,}027,\\ T\approx6{,}516.
\epsilon=-0{,}2:\\ A\approx1{,}062,\\ T\approx6{,}752.
\epsilon=-0{,}3:\\ A\approx1{,}107,\\ T\approx6{,}985.
Observação: para \epsilon\le -\tfrac{1}{2} não há amplitude real com a energia inicial dada (movimento deixa de ser oscilatório limitado).

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