Determine as integrais abaixo:
integral e^t raiz9-e^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral e^traiz9-e^2t,dt
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de uma função composta em que aparece e^t dentro de uma raiz quadrada, e vamos usar a técnica de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^t,
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du = e^t,dt
Com isso a integral original se transforma em
integral e^traiz9-e^2t,dt = integral raiz9-u^2,du

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral raiz9-u^2,du
Essa é a integral da semicircunferência de raio 3, e o método mais direto é a substituição trigonométrica.

Passo 4

Usamos
u = 3sintheta, du = 3costheta,dtheta, raiz9-u^2 = 3costheta
A integral fica
integral raiz9-u^2,du = integral 3costheta cdot 3costheta,dtheta =9integral cos^2theta,dtheta =9integral 1+cos2theta2,dtheta
Integrando,
9integral 1+cos2theta2,dtheta =92l(theta + sin2theta2r)+C
Como sin2theta=2sinthetacostheta e sintheta=u/3, costheta=raiz9-u^2/3, obtém-se
integral raiz9-u^2,du =uraiz9-u^22 +92arcsin!l(tfracu3r) + C

Passo 5

Voltando à variável original t com u=e^t, concluímos
integral e^traiz9-e^2t,dt =e^traiz9-e^2t2 +92arcsin!l(tfrace^t3r) + C

Resposta

e^traiz9-e^2t2 +92arcsin!l(e^t3r) + C

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