Calcule a integral integral triplaE(x y-y^3) d V, onde
E=(x, y, z) ;-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1

Passo 1

O exercício pede a integral tripla integral triplaE(x y - y^3),dV sobre o paralelepípedo
E=(x,y,z):-1<= x<=1, 0<= y<=2, 0<= z<=1
O conteúdo usado é o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas e a linearidade das integrais.

Passo 2

Pelo teorema de Fubini e pela linearidade, escrevemos
integral triplaE(x y - y^3),dV = integral triplaEx y,dV - integral triplaEy^3,dV

Passo 3

Começando por integral triplaEx y,dV:
integral triplaEx y,dV = integralx=-1^1integraly=0^2integralz=0^1x y,dz,dy,dx
Como o integrando não depende de z,
integralz=0^1x y,dz = x y cdot 1 = x y
Então
integral triplaEx y,dV = integral-1^1integral0^2x y,dy,dx
Podemos separar:
(integral-1^1x,dx)(integral0^2y,dy)
Como integral-1^1x,dx=0, concluímos que essa parte vale 0.

Passo 4

Agora integral triplaEy^3,dV:
integral triplaEy^3,dV = integral-1^1integral0^2integral0^1y^3,dz,dy,dx
De novo, primeiro em z:
integral0^1y^3,dz = y^3 cdot 1 = y^3
Então
integral triplaEy^3,dV = integral-1^1dx integral0^2y^3,dy = (,2,) [y^44]0^2 = 2 cdot 164 = 2 cdot 4 = 8

Passo 5

Juntando os resultados, temos
integral triplaE(x y - y^3),dV = 0 - 8 = -8

Resposta

-8

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