Esboce a regióo delimitada pelos gráficos das equaçoes e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas y=√x, y=–x e pelas retas verticais x=1 e x=4. O conteúdo aqui é o cálculo de área via integral dupla, usando a definição de área A=∬_D dA.
Passo 2
Vamos entender qualitativamente a região D no plano xy: a curva y=√x parte do ponto (0,0) e sobe suavemente, a reta y=–x passa pela origem com inclinação –1, e as retas x=1 e x=4 são fronteiras verticais. Entre x=1 e x=4, a curva y=√x fica acima da reta y=–x, então D é o conjunto de pontos com 1≤x≤4 e –x≤y≤√x.
Passo 3
Com base nisso, podemos definir D por:
Passo 4
A área será então escrita como integral iterada:
Passo 5
Calculando a integral interna em y:
Passo 6
Agora ficamos com uma integral em x só:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
Somando, temos