Esboce a regióo delimitada pelos gráficos das equaçoes e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
6 y=raizx, y=-x, x=1, x=4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas y=√x, y=–x e pelas retas verticais x=1 e x=4. O conteúdo aqui é o cálculo de área via integral dupla, usando a definição de área A=∬_D dA.

Passo 2

Vamos entender qualitativamente a região D no plano xy: a curva y=√x parte do ponto (0,0) e sobe suavemente, a reta y=–x passa pela origem com inclinação –1, e as retas x=1 e x=4 são fronteiras verticais. Entre x=1 e x=4, a curva y=√x fica acima da reta y=–x, então D é o conjunto de pontos com 1≤x≤4 e –x≤y≤√x.

Passo 3

Com base nisso, podemos definir D por:
1 <= x <= 4, -x <= y <= raizx

Passo 4

A área será então escrita como integral iterada:
A=integral duplaD dA=integralx=1^4integraly=-x^raizx dy,dx

Passo 5

Calculando a integral interna em y:
integraly=-x^raizx dy=l[yr]-x^raizx=raizx-(-x)=raizx+x

Passo 6

Agora ficamos com uma integral em x só:
A=integral1^4(raizx+x),dx=integral1^4x^1/2dx+integral1^4x,dx

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
integral1^4x^1/2dx=[23x^3/2]1^4=23(8-1)=143,
integral1^4x,dx=[x^22]1^4=16-12=152
Somando, temos
A=143+152=28+456=736

Resposta

736

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