Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
& f(x)=3 x^2-12 x+5, [0,3] & f(x)=x^3-3 x+1, [0,3] & f(x)=2 x^3-3 x^2-12 x+1, [-2,3] & f(x)=x^3-6 x^2+5, [-3,5]

Passo 1

A gente quer achar os valores absolutos máximo e mínimo de cada polinômio no intervalo dado. O conteúdo que vamos usar é derivada para encontrar pontos críticos internos (onde f’(x)=0) e depois comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Para f(x)=3x^2-12x+5 em [0,3]: calculo f'(x)=6x-12, que zera em x=2. Avaliando f(0)=5, f(2)=3cdot2^2-12cdot2+5=-7 e f(3)=3cdot3^2-12cdot3+5=-4. Logo o mínimo absoluto é -7 em x=2 e o máximo absoluto é 5 em x=0.

Passo 3

Para f(x)=x^3-3x+1 em [0,3]: calculo f'(x)=3x^2-3, que zera em x=pm1; no intervalo fica só x=1. Avaliando f(0)=1, f(1)=1-3+1=-1 e f(3)=27-9+1=19. Logo mínimo absoluto é -1 em x=1 e máximo absoluto é 19 em x=3.

Passo 4

Para f(x)=2x^3-3x^2-12x+1 em [-2,3]: calculo f'(x)=6x^2-6x-12, que zera em x=2 e x=-1. Avaliando f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+1=-3, f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1=8, f(2)=16-12-24+1=-19 e f(3)=54-27-36+1=-8. Logo mínimo absoluto é -19 em x=2 e máximo absoluto é 8 em x=-1.

Passo 5

Para f(x)=x^3-6x^2+5 em [-3,5]: calculo f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4), que zera em x=0 e x=4. Avaliando f(-3)=-27-54+5=-76, f(0)=5, f(4)=64-96+5=-27 e f(5)=125-150+5=-20. Logo mínimo absoluto é -76 em x=-3 e máximo absoluto é 5 em x=0.

Resposta

f(x)=3x²-12x+5 em [0,3]: mínimo = -7 (x=2), máximo = 5 (x=0);
f(x)=x³-3x+1 em [0,3]: mínimo = -1 (x=1), máximo = 19 (x=3);
f(x)=2x³-3x²-12x+1 em [-2,3]: mínimo = -19 (x=2), máximo = 8 (x=-1);
f(x)=x³-6x²+5 em [-3,5]: mínimo = -76 (x=-3), máximo = 5 (x=0).

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