Calcule a integral iterada.
integral-1^1 integralx^y+1(3 x+2 y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada que o exercício pediu. O enunciado é para calcular:
integral-1^1 integralx^x+1(3 x + 2 y) , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais duplas (ou iteradas). Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis, primeiro em relação a uma delas e depois em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integralx^x+1 (3x + 2y) , dy . Isso significa que vamos tratar como uma constante enquanto integramos em .
A integral interna é:

Passo 3

Para integrar integral 2y , dy = y^2 em relação a 3x y + y^2 , vamos integrar cada termo separadamente.
A antiderivada de em relação a é , porque é uma constante diante de .
A antiderivada de em relação a é , já que:
Portanto, a antiderivada completa é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 3x(x+1) + (x+1)^2 = 3x^2 + 3x + x^2 + 2x + 1 = 4x^2 + 5x + 1 , que são de 3x(x) + x^2 = 3x^2 + x^2 = 4x^2 a .
Substituindo :
Substituindo :

Passo 5

Agora, subtraímos o valor de (4x^2 + 5x + 1) - (4x^2) = 5x + 1 do valor de 5x + 1 :
Então, a integral interna simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral-1^1 (5x + 1) , dx , com os limites de sendo de a .
A integral é:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente.
A antiderivada de 52x^2 + x em relação a é .
A antiderivada de em relação a é .
Portanto, a antiderivada completa é:

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 52(1)^2 + 1 = 52 + 1 = 72 , que são de 52(-1)^2 + (-1) = 52 - 1 = 32 a .
Substituindo :
Substituindo :

Passo 9

Agora, subtraímos o valor de 72 - 32 = 2 do valor de :

Resposta

O valor da integral iterada é 2.

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