Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada que o exercício pediu. O enunciado é para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais duplas (ou iteradas). Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis, primeiro em relação a uma delas e depois em relação à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. Isso significa que vamos tratar
como uma constante enquanto integramos em
.
A integral interna é:
Passo 3
Para integrar
em relação a
, vamos integrar cada termo separadamente.
A antiderivada de
em relação a
é
, porque
é uma constante diante de
.
A antiderivada de
em relação a
é
, já que:
Portanto, a antiderivada completa é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
, que são de
a
.
Substituindo
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, subtraímos o valor de
do valor de
:
Então, a integral interna simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a
, com os limites de
sendo de
a
.
A integral é:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente.
A antiderivada de
em relação a
é
.
A antiderivada de
em relação a
é
.
Portanto, a antiderivada completa é:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
, que são de
a
.
Substituindo
:
Substituindo
:
Passo 9
Agora, subtraímos o valor de
do valor de
:
Resposta
O valor da integral iterada é 2.