Calcule as derivadas abaixo: y=5 xsen(x^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y=5xsin(x^3). O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, junto com a regra da cadeia para derivar sin(x^3).

Passo 2

Para usar a regra do quociente, identificamos o numerador u(x)=5x e o denominador v(x)=sin(x^3). A regra do quociente diz que
ddxl(uvr)=u',v - u,v'v^2

Passo 3

Derivamos o numerador: u(x)=5x implica
u'(x)=5

Passo 4

Derivamos o denominador aplicando a regra da cadeia. Como v(x)=sin(x^3), temos a derivada de sin(w) em relação a w que é cos(w) vezes a derivada de w=x^3:
v'(x)=cos(x^3)cdot 3x^2=3x^2cos(x^3)

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
y'=5cdotsin(x^3) - (5x)cdotl(3x^2cos(x^3)r)sin^2(x^3)

Passo 6

Para simplificar, podemos fatorar 5 no numerador e reescrever:
y'=5l[sin(x^3)-3x^3cos(x^3)r]sin^2(x^3)

Resposta

y'=5l[sin(x^3)-3x^3cos(x^3)r]sin^2(x^3)

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