Calcule a integral iterada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Aqui temos uma integração em três etapas nas variáveis
, depois
e por fim
.
Passo 2
Integramos primeiro em
, lembrando que
é constante em relação a
:
Passo 3
Agora integramos em
, onde a expressão não depende de
:
Passo 4
A integral tripla reduz-se afinal a
Passo 5
Separamos em duas integrais:
Calculemos primeiro
Passo 6
Definimos
e usamos integração por partes com
u=x ,
dv=cos x,dx . Então
du=dx ,
v=sin x , de modo que
Passo 7
Agora
Fazemos partes com
u=x^2 ,
dv=sin x,dx , logo
du=2x,dx ,
v=-cos x . Então
Passo 8
Finalmente
Mais uma vez partes com
u=x^3 ,
dv=cos x,dx , de modo que
du=3x^2dx ,
v=sin x . Assim
Passo 9
Reunindo