Calcule a integral iterada.
integral0^12 integral0^x integral0^x x^2 sen y d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^12integral0^xintegral0^xx^2,sin y,dy,dz,dx
Aqui temos uma integração em três etapas nas variáveis y, depois z e por fim x.

Passo 2

Integramos primeiro em y, lembrando que x^2 é constante em relação a y:
integral0^xx^2sin y,dy = x^2integral0^xsin y,dy = x^2l[-cos yr]0^x = x^2l(1-cos xr)

Passo 3

Agora integramos em z, onde a expressão não depende de z:
integral0^xx^2(1-cos x),dz = x^2(1-cos x)integral0^xdz = x^3(1-cos x)

Passo 4

A integral tripla reduz-se afinal a
integral0^tfrac12x^3(1-cos x),dx

Passo 5

Separamos em duas integrais:
integral0^12x^3(1-cos x),dx = underbraceintegral0^12x^3,dxA ;-;underbraceintegral0^12x^3cos x,dxB
Calculemos primeiro
A=integral0^12x^3,dx =14x^4|0^tfrac12 =164

Passo 6

Definimos
D=integral0^12xcos x,dx
e usamos integração por partes com u=x, dv=cos x,dx. Então du=dx, v=sin x, de modo que
D=l[xsin xr]0^tfrac12-integral0^tfrac12sin x,dx =12sin!tfrac12-l[-cos xr]0^tfrac12 =12sin!tfrac12+cos!tfrac12-1

Passo 7

Agora
C=integral0^12x^2sin x,dx
Fazemos partes com u=x^2, dv=sin x,dx, logo du=2x,dx, v=-cos x. Então
C=l[-x^2cos xr]0^tfrac12 +integral0^tfrac122xcos x,dx =-14cos!tfrac12+2D =sin!tfrac12+74cos!tfrac12-2

Passo 8

Finalmente
B=integral0^12x^3cos x,dx
Mais uma vez partes com u=x^3, dv=cos x,dx, de modo que du=3x^2dx, v=sin x. Assim
B=l[x^3sin xr]0^tfrac12 -3integral0^tfrac12x^2sin x,dx =18sin!tfrac12-3C =-238sin!tfrac12-214cos!tfrac12+6

Passo 9

Reunindo
integral0^12x^3(1-cos x),dx = A - B =164-l(-tfrac238sintfrac12-tfrac214costfrac12+6r) =238sintfrac12+214costfrac12-38364

Resposta

238,sin!l(tfrac12r) +214,cos!l(tfrac12r) -38364

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