Calcule a integral iterada.
$$
2 \int_{0}^{1} \int_{-1}^{2} \int_{1}^{3}\left(6 x^{2} z+5 x y^{2}\right) d z d x d y$$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
2 integraly=0^1integralx=-1^2integralz=1^3l(6x^2z+5xy^2r),dz,dx,dy.
Conteúdo: cálculo de integrais múltiplas (integrais iteradas). Vamos usar a linearidade da integral e integrar passo a passo em cada variável, tratando as outras como constantes.

Passo 2

Primeiro, integramos em z, mantendo x e y constantes. Aplicando a propriedade linear da integral, temos:
integral1^3l(6x^2z+5xy^2r),dz =6x^2integral1^3z,dz+5xy^2integral1^31,dz =6x^2l[z^22r]1^3+5xy^2l[zr]1^3 =6x^2cdot4+5xy^2cdot2 =24x^2+10xy^2

Passo 3

Agora integramos em x o resultado 24x^2+10xy^2, tratando y como constante:
integral-1^2l(24x^2+10xy^2r),dx =24integral-1^2x^2,dx+10y^2integral-1^2x,dx =24l[x^33r]-1^2+10y^2l[x^22r]-1^2 =24cdot3+10y^2cdot32 =72+15y^2

Passo 4

Em seguida, integramos em y o polinômio 72+15y^2:
integral0^1l(72+15y^2r),dy =72l[yr]0^1+15l[y^33r]0^1 =72+5 =77

Passo 5

Por fim, multiplicamos pelo fator externo 2 do enunciado:
2times77=154

Resposta

154

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