Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t=x^2 t d yd t=y t^2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de EDOs
dxdt=x^2t, dydt=y,t^2,
que pertence ao tema de equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos tratar cada equação de forma independente, fazendo separação de variáveis e integrando.

Passo 2

Para a primeira equação dfracdxdt=x^2t, separamos as variáveis escrevendo
1x^2,dx = t,dt
e integramos dos dois lados: integrais de x^-2 e de t. Isso dá
integral x^-2dx = integral t,dt
-1x = t^22 + C1
Isolando x:
1x = -t^22 - C1 = C1' - t^22,
onde C1'=-C1. Logo
x(t)=1C1'-t^22

Passo 3

Para a segunda equação dfracdydt=y,t^2, separamos escrevendo
1y,dy = t^2dt
e integramos:
integral 1ydy = integral t^2dt
ln|y| = t^33 + C2
Elevando exponencialmente, obtemos
y(t)=C2',e^t^33,
com C2'=e^C2 sendo outra constante arbitrária.

Passo 4

Reunindo as duas soluções, temos a solução geral do sistema em termos de duas constantes independentes C1' e C2'.

Resposta

As soluções gerais são
x(t)=1C1-tfract^22, y(t)=C2,e^tfract^33,
com C1,C2 constantes de integração.

Exercícios relacionados