Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral-y-1^-1(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada que você mandou:
integral0^1 integral-y-1^-1(x^2+y^2) dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Para resolver, vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral-y-1^-1 (x^2 + y^2) dx em relação a integral x^2 dx + integral y^2 dx = x^33 + y^2x , mantendo constante. A integral em relação a fica:
Integrando termo a termo:
Agora, vamos substituir os limites de integração para :

Passo 3

Substituindo [ (-1)^33 + y^2(-1) ] - [ (-y-1)^33 + y^2(-y-1) ] e -13 - y^2 na antiderivada:
-(y + 1)^33 - y^2(y + 1)
Vamos simplificar cada parte:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença:
( -13 - y^2 ) - ( -(y + 1)^33 - y^2(y + 1) ) = -13 - y^2 + (y + 1)^33 + y^3 + y^2
Simplificando os termos:
-1 + (y + 1)^33 + y^3

Passo 5

Expandindo (y + 1)^3 = y^3 + 3y^2 + 3y + 1 :
-1 + y^3 + 3y^2 + 3y + 13 + y^3 = y^3 + 3y^2 + 3y3 + y^3 = y^3/3 + y^2 + y + y^3
Substituindo de volta:
4y^33 + y^2 + y
Somando os termos de :

Passo 6

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( 4y^33 + y^2 + y ) dy de 0 a 1:
43 cdot y^44 + y^33 + y^22 = y^43 + y^33 + y^22
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de 0 a 1:
( 1^43 + 1^33 + 1^22 ) - ( 0^43 + 0^33 + 0^22 ) = 13 + 13 + 12
Somando essas frações:
13 + 13 = 23, 23 + 12 = 46 + 36 = 76

Resposta

O valor da integral iterada é .

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