Usando o método da transformada de Laplace, resolva o seguinte sistema de equações.
ld^2 xd t^2-d yd t=1-t d xd t+2 d yd t=4 e^t+x x(0)=0, y(0)=0, x^prime(0)=1

Passo 1

A gente tem o sistema
x''(t)-y'(t)=1-t, x'(t)+2y'(t)=4e^t+x(t),
com condições iniciais x(0)=0, y(0)=0, x'(0)=1. O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace para converter derivadas em expressões algébricas em s, resolver o sistema para X(s)=Lx e Y(s)=Ly, e depois voltar para o domínio de t por frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada equação, usando
Lx''=s^2X(s)-sx(0)-x'(0)=s^2X(s)-1, Ly'=sY(s), L1-t=tfrac1s-tfrac1s^2,
e
Lx'=sX(s), Le^t=tfrac1s-1,
obtemos o sistema em s:
s^2X(s)-1-sY(s)=tfrac1s-tfrac1s^2, sX(s)+2sY(s)=tfrac4s-1+X(s)

Passo 3

Da primeira equação isolamos
Y(s)=sX(s)-l(1+tfrac1s-tfrac1s^2r)cdot1s =sX(s)-1s-1s^2+1s^3
Substituindo na segunda e coletando termos de X(s)
(2s^2+s-1)X(s)=4s-1+2+2s-2s^2

Passo 4

Olhando o lado direito, juntamos tudo sobre um único denominador e chegamos a
X(s)=2s^3+4s^2-4s+22,s^2(s-1),(s-tfrac12)(s+1) =s^3+2s^2-2s+1s^2(s-1)(s-tfrac12)(s+1)
Agora fazemos a decomposição em frações parciais
X(s)= A s+ Bs^2+ Cs-1+ Ds-1/2+ Es+1,
e achamos
A=0, B=2, C=2, D=-tfrac103, E=tfrac43.

Passo 5

Invertendo termo a termo:
2s^2to2t, 2s-1to2e^t, -10/3s-1/2to-tfrac103e^t/2, 4/3s+1totfrac43e^-t,
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x(t)=2t+2e^t-tfrac103e^t/2+tfrac43e^-t

Passo 6

Para Y(s) usamos a relação
Y(s)=sX(s)-1s-1s^2+1s^3
já com X(s) em frações parciais, refazemos a inversão:
1/sto1, 2/(s-1)to2e^t, -tfrac531s-1/2to-tfrac53e^t/2, -tfrac431s+1to-tfrac43e^-t,
e também -1/s^2to- t, 1/s^3to t^2/2.

Passo 7

Juntando tudo, obtemos
y(t)=1 - t + t^22 + 2e^t - 53e^t/2 - 43e^-t,
e verificamos que satisfaz y(0)=0.

Resposta

x(t)=2t+2e^t-tfrac103e^t/2+tfrac43e^-t, y(t)=1 - t + tfract^22 + 2e^t - tfrac53e^t/2 - tfrac43e^-t

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