Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver um sistema de EDOs acopladas de segunda ordem com coeficientes constantes e termos-força trigonométricos. O conteúdo principal é equações diferenciais ordinárias e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar soluções homogênea e particular.
Passo 2
Começamos pela primeira equação
. A equação homogênea associada é
, cuja equação característica é
e tem raízes
. Logo a solução homogênea é
Para a solução particular, assumimos
. Calculando
e somando a
, obtemos
Assim
e
, ou seja
. Portanto
Passo 3
Agora usamos
na segunda equação
. Derivando
temos
Substituindo em
e rearranjando, obtemos uma EDO para
:
Passo 4
Para resolver
, primeiro a solução homogênea: a eq. caract. é
, raízes
, logo
Para a parte particular, usamos o ansatz
Calculando
e igualando a
, achamos:
Logo
Passo 5
A solução geral do sistema é a combinação das partes homogênea e particular de cada variável. Mantemos quatro constantes arbitrárias
, pois temos duas EDOs de segunda ordem acopladas.
Assim chegamos às soluções gerais:
Assim chegamos às soluções gerais:
Resposta
(x(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+\sin(t),\
y(t)=C,e{t}+D,e{-t}+\frac{2A}{5}\sin(2t)-\frac{2B}{5}\cos(2t)+\frac12\cos(t),\
ondeA,B,C,Dsão constantes arbitrárias.
y(t)=C,e{t}+D,e{-t}+\frac{2A}{5}\sin(2t)-\frac{2B}{5}\cos(2t)+\frac12\cos(t),\
ondeA,B,C,Dsão constantes arbitrárias.