Resolva o seguinte sistema de equações.
ld^2 xd t^2+4 x=3 sen(t) d xd t-d^2 yd t^2+y=2 cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema de EDOs acopladas de segunda ordem com coeficientes constantes e termos-força trigonométricos. O conteúdo principal é equações diferenciais ordinárias e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar soluções homogênea e particular.

Passo 2

Começamos pela primeira equação x''+4x=3sin(t). A equação homogênea associada é x''+4x=0, cuja equação característica é r^2+4=0 e tem raízes r=pm2i. Logo a solução homogênea é
xh(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Para a solução particular, assumimos xp=Csin(t)+Dcos(t). Calculando xp''=-Csin(t)-Dcos(t) e somando a 4xp, obtemos
(-C+4C)sin(t)+(-D+4D)cos(t)=3sin(t)implies3Csin(t)+3Dcos(t)=3sin(t)
Assim C=1 e D=0, ou seja xp=sin(t). Portanto
x(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)+sin(t)

Passo 3

Agora usamos x'(t) na segunda equação x'-y''+y=2cos(t). Derivando x(t) temos
x'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)+cos(t)
Substituindo em x'-y''+y=2cos(t) e rearranjando, obtemos uma EDO para y:
y''-y=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)-cos(t)

Passo 4

Para resolver y''-y=f(t), primeiro a solução homogênea: a eq. caract. é r^2-1=0, raízes r=pm1, logo
yh(t)=C,e^t+D,e^-t
Para a parte particular, usamos o ansatz
yp=Esin(2t)+Fcos(2t)+Gsin(t)+Hcos(t)
Calculando yp''-yp e igualando a -2Asin(2t)+2Bcos(2t)-cos(t), achamos:
E=2A5, F=-2B5, G=0, H=12
Logo
yp=2A5sin(2t)-2B5cos(2t)+12cos(t)

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação das partes homogênea e particular de cada variável. Mantemos quatro constantes arbitrárias A,B,C,D, pois temos duas EDOs de segunda ordem acopladas.
Assim chegamos às soluções gerais:

Resposta

(x(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+\sin(t),\
y(t)=C,e{t}+D,e{-t}+\frac{2A}{5}\sin(2t)-\frac{2B}{5}\cos(2t)+\frac12\cos(t),\
ondeA,B,C,Dsão constantes arbitrárias.

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