Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t=3 e^-t d yd t=x+y

Passo 1

O enunciado dá um sistema de EDOs em que a primeira é tfracdxdt=3e^-t e a segunda é tfracdydt=x+y. Vamos precisar integrar diretamente a primeira equação e depois resolver a segunda como uma EDO linear de 1ª ordem.

Passo 2

Integramos tfracdxdt=3e^-t em relação a t. Temos:
x(t)=integral 3e^-t,dt=-3e^-t+C1

Passo 3

Substituímos essa solução em tfracdydt=x+y, obtendo
dydt-y = x(t) = -3e^-t+C1
Esse é um problema de EDO linear de 1ª ordem.

Passo 4

Usamos o fator integrante mu(t)=e^-t. Multiplicando a equação por e^-t e integrando:
ddtl(y,e^-tr)=(-3e^-t+C1)e^-t=-3e^-2t+C1e^-t
y,e^-t=integral(-3e^-2t+C1e^-t),dt=32e^-2t-C1e^-t+C2
Multiplicando por e^t e rearranjando, chega-se à solução geral abaixo.

Resposta

[
x(t)=C_{1}-3e^{-t},\quad y(t)=-C_{1}+\tfrac{3}{2}e{-t}+C_{2}e{t}
]

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