Calcule a integral iterada.
integral0^2 integralraizx^3(x^2+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^2integralraizx^3l(x^2+yr),dy,dx
O conteúdo que vamos usar é a definição de integral iterada: primeiro integramos em y, tratando x como constante, e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integralraizx^3l(x^2+yr),dy =integralraizx^3x^2,dy+integralraizx^3y,dy
Como x^2 é constante em relação a y,
integralraizx^3x^2,dy =x^2l(3-raizxr),
e
integralraizx^3y,dy =12l(3^2-(raizx)^2r) =12l(9-xr)
Logo o valor da integral interna é
x^2l(3-raizxr)+12(9-x)

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a 2:
integral0^2l[x^2(3-raizx)r],dx =integral0^23x^2,dx-integral0^2x^2raizx,dx
Calculemos cada termo:
integral0^23x^2,dx =3cdot2^33=8,
integral0^2x^2raizx,dx =integral0^2x^5/2,dx =x^7/2tfrac72g|0^2 =27,2^7/2 =16raiz27
Portanto
integral0^2x^2(3-raizx),dx =8-16raiz27

Passo 4

Falta a parte vinda de tfrac12(9-x):
12integral0^2(9-x),dx =12l[9x-tfracx^22r]0^2 =12(18-2)=8

Passo 5

Somando os resultados de

Passo 6

gl(8-16raiz27gr)+8 =16-16raiz27 =16(7-raiz2)7

Resposta

16l(7-raiz2r)7

Exercícios relacionados