Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^x sen(x^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^xsenl(x^2r),dy,dx
Aqui o conteúdo principal é a integração iterada: primeiro integramos em y, depois em x. Vamos usar a ideia de que, se o integrando não depende de y, basta multiplicar por seu comprimento no eixo y, e em seguida resolver a integral em x por substituição.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral0^xsenl(x^2r),dy
Como sen(x^2) é constante em relação a y, temos
integral0^xsenl(x^2r),dy = senl(x^2r),l[yr]0^x = x,senl(x^2r)

Passo 3

Agora a integral iterada vira uma só em x:
integral0^1x,senl(x^2r),dx
Para resolver, fazemos a substituição u = x^2, logo du = 2x,dx ou x,dx = tfracdu2. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1.

Passo 4

Aplicando a substituição:
integral0^1x,senl(x^2r),dx = integralu=0^u=1sen(u),du2 = 12integral0^1sen(u),du = 12l[-cos(u)r]0^1 = 12l(1 - cos(1)r)

Resposta

boxed1 - cos(1)2

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