Calcule a integral iterada
integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y 2 x y d z d y d x
Dê sua resposta na forma de fração, tipo a/b

Passo 1

Vamos calcular a integral iterada integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y 2 x y , dz , dy , dx. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais iteradas. Precisamos integrar a função 2xy primeiro em relação a z, depois em relação a y e, por fim, em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função 2xy em relação a z, mantendo x e y constantes. A integral em relação a z é:
integral0^x+y 2xy , dz
Como 2xy não depende de z, a integral se simplifica para:
2xy cdot (x + y - 0) = 2xy(x + y)

Passo 3

Agora, temos uma nova integral dupla:
integral0^1 integralx^2x 2xy(x + y) , dy , dx
Vamos simplificar a expressão 2xy(x + y):
2xy(x + y) = 2x^2y + 2xy^2
Assim, a integral se torna:
integral0^1 integralx^2x (2x^2y + 2xy^2) , dy , dx

Passo 4

Vamos integrar em relação a y:
integralx^2x (2x^2y + 2xy^2) , dy
Integrando termo a termo:
2x^2 integralx^2x y , dy + 2x integralx^2x y^2 , dy
Calculando cada integral:
2x^2 [ y^22 ]x^2x + 2x [ y^33 ]x^2x
Isso resulta em:
2x^2 ( (2x)^22 - x^22 ) + 2x ( (2x)^33 - x^33 )

Passo 5

Simplificando cada parte:
Para o primeiro termo:
2x^2 ( 4x^22 - x^22 ) = 2x^2 ( 3x^22 ) = 3x^4
Para o segundo termo:
2x ( 8x^33 - x^33 ) = 2x ( 7x^33 ) = 14x^43
Somando os dois resultados:
3x^4 + 14x^43 = 9x^4 + 14x^43 = 23x^43

Passo 6

Agora, temos a última integral em relação a x:
integral0^1 23x^43 , dx
Fatorando a constante:
233 integral0^1 x^4 , dx

Passo 7

Integrando x^4 em relação a x:
233 [ x^55 ]0^1 = 233 ( 15 - 0 ) = 2315

Resposta

2315

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