Seja gamma(t)=(R cos t, R sen t), 0 <= t <= 2 pi(R>0). Mostre que integraly -y4 x^2+y^2 d x+x4 x^2+y^2 d y não depende de R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a integral de linha
integralgamma -y4x^2+y^2,dx+x4x^2+y^2,dy
sobre a curva gamma(t)=(Rcos t,Rsin t), 0<= t<=2pi, não depende de R>0. Vamos usar parametrização e simplificar o fator R.

Passo 2

Parametrizamos a curva: x=R\cos t e y=R\sin t. Então
dx=-Rsin t,dt, dy=Rcos t,dt
Isso nos dá todas as parcelas necessárias para reescrever a integral.

Passo 3

Calculamos o numerador da forma diferencial:
-y,dx + x,dy = -Rsin t(-Rsin t,dt) + Rcos t(Rcos t,dt) = R^2(sin^2t+cos^2t),dt = R^2,dt

Passo 4

Substituímos na integral original:
integral0^2pi -y,dx + x,dy4x^2+y^2 = integral0^2pi R^2,dt4R^2cos^2t + R^2sin^2t = integral0^2pi R^2,dtR^2(4cos^2t+sin^2t) = integral0^2pi dt4cos^2t+sin^2t
Note que R^2 cancela completamente.

Passo 5

Da expressão final vemos que o parâmetro R desapareceu da integral. Logo, o valor da integral é o mesmo para qualquer R>0.

Resposta

A integral é independente de R.

Exercícios relacionados