Seja
. Mostre que
não depende de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a integral de linha
sobre a curva
,
, não depende de
. Vamos usar parametrização e simplificar o fator
.
Passo 2
Parametrizamos a curva: x=R\cos t e y=R\sin t. Então
Isso nos dá todas as parcelas necessárias para reescrever a integral.
Passo 3
Calculamos o numerador da forma diferencial:
Passo 4
Substituímos na integral original:
Note que
cancela completamente.
Passo 5
Da expressão final vemos que o parâmetro
desapareceu da integral. Logo, o valor da integral é o mesmo para qualquer
.
Resposta
A integral é independente de R.