Considerando as funções dadas abaixo
, calcule o que se pede:
Se
, calcule
e
;
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente trabalhar com a função $ f(x) = \frac{1}{x} $. Precisamos descobrir dois itens: o conjunto $ A $, que é o conjunto de todos os números que você pode colocar no lugar do $ x $ (também chamado de domínio da função), e $ f(\mathbb{N}) $, que é o conjunto de valores que a função $ f $ gera quando usamos todos os números naturais (1, 2, 3, …) como entrada. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como calcular a imagem de um conjunto pela função $ f $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o conjunto $ A $. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso da função $ f(x) = \frac{1}{x} $, precisamos pensar para quais valores de $ x $ essa expressão faz sentido matematicamente.
Passo 3
Observamos que $ \frac{1}{x} $ está definida para todos os valores de $ x $ exceto quando $ x = 0 $, porque dividir por zero não é permitido na matemática. Portanto, o domínio $ A $ é todos os números reais menos o zero.
Passo 4
Em termos matemáticos, podemos escrever isso como:
Isso significa que $ A $ inclui todos os números reais, positivos e negativos, exceto o zero.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ f(\mathbb{N}) $. Isso quer dizer que vamos aplicar a função $ f $ em todos os números naturais $ \mathbb{N} $ (1, 2, 3, …). Vamos ver o que acontece quando substituímos cada número natural na função.
Passo 6
Para cada natural $ n $, temos:
Então, aplicando isso para todos os naturais, o conjunto $ f(\mathbb{N}) $ será:
Ou seja:
Isso mostra que $ f(\mathbb{N}) $ é o conjunto das inversas de todos os números naturais.
Resposta
O conjunto $ A $ é $ \mathbb{R} \setminus {0} $ e $ f(\mathbb{N}) = \left{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ··· \right} $.