Calcule a integral iterada
integral0^ln 4 integral0^ln 5 3 e^5 x-y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integral0^ln 4 integral0^ln 5 3 e^5 x - y , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integração dupla, que é usada para calcular o volume sob uma superfície em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a $ x $:
x
Como $ y $ está sendo tratado como uma constante nessa parte, podemos reescrever o integrando como:
integral0^ln 5 3 e^5x - y , dx
Então, a integral fica:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral $ \int e^{5x} , dx $. A antiderivada de $ e^{5x} $ é:
integral e^5x , dx
Então, substituindo de volta na nossa expressão:
e^5x

Passo 4

Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração para $ x $:
x
Sabemos que $ e^{5 \ln 5} = 5^5 = 3125 $ e $ e^{0} = 1 $. Assim:
3 e^-y ( 15 e^5 ln 5 - 15 e^0 )
Simplificando:
e^5 ln 5 = 5^5 = 3125

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ y $:
y
A antiderivada de $ e^{-y} $ é $ -e^{-y} $, então:
integral0^ln 4 1874.4 , e^-y , dy

Passo 6

Avaliaremos nos limites de $ y $:
y
Sabemos que $ e^{-\ln 4} = \frac{1}{4} $ e $ e^{0} = 1 $. Então:
1874.4 ( -e^-ln 4 + e^0 )

Resposta

O valor da integral é $ \boxed{\dfrac{7029}{5}} $.

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