Calcule a integral iterada
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos lidando com integração dupla, que é usada para calcular o volume sob uma superfície em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a $ x $:
Como $ y $ está sendo tratado como uma constante nessa parte, podemos reescrever o integrando como:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral $ \int e^{5x} , dx $. A antiderivada de $ e^{5x} $ é:
Então, substituindo de volta na nossa expressão:
Passo 4
Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração para $ x $:
Sabemos que $ e^{5 \ln 5} = 5^5 = 3125 $ e $ e^{0} = 1 $. Assim:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ y $:
A antiderivada de $ e^{-y} $ é $ -e^{-y} $, então:
Passo 6
Avaliaremos nos limites de $ y $:
Sabemos que $ e^{-\ln 4} = \frac{1}{4} $ e $ e^{0} = 1 $. Então:
Resposta
O valor da integral é $ \boxed{\dfrac{7029}{5}} $.