Calcule a integral iterada:
integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y 2 x y d z d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular a integral iterada
integral0^1!integralx^2x!integral0^,x+y2xy;dz;dy;dx
Isso envolve conteúdo de cálculo multivariável: integrais múltiplas e mudança de ordem (mas aqui só seguimos a ordem dada). Para resolver vamos integrar por partes internas primeiro (variável z), depois em y e, por fim, em x.

Passo 2

Integramos em z, tratando x,y como constantes.
integral0^,x+y2xy;dz = 2xyintegral0^,x+y1;dz = 2xyl[zr]0^,x+y = 2xy,(x+y)
Logo, a integral vira
integral0^1!integralx^2xl(2x^2y + 2xy^2r);dy;dx

Passo 3

Agora integramos em y de y=x até y=2x:
integralx^2x(2x^2y + 2xy^2),dy = integralx^2x2x^2y,dy + integralx^2x2x y^2,dy
Calculando cada parte:
  1. integral 2x^2y,dy = 2x^2cdoty^22 = x^2y^2
  2. integral 2x y^2,dy = 2xcdoty^33 = 2x,y^33
Avalia de y=x a y=2x:
  • Em y=2x: x^2(2x)^2 + tfrac2x(2x)^33 = 4x^4 + 16x^43 = 28x^43
  • Em y=x: x^2(x)^2 + tfrac2x(x)^33 = x^4 + 2x^43 = 5x^43
Subtraindo:
28x^43 - 5x^43 = 23x^43
Então a integral ficou
integral0^123x^43;dx

Passo 4

Integramos em x de 0 a 1:
integral0^123x^43,dx = 233integral0^1x^4,dx = 233cdotx^55|0^1 = 233cdot15 = 2315

Resposta

boxed2315

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