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O volume do elipsóide de equação
36 x^2+37 y^2+z^2=1332
é da forma N pi para algum inteiro N. Qual o valor de N ?
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um elipsoide com a equação 36x^2 + 37y^2 + z^2 = 1332 e expressar esse volume na forma Npi, onde N é um número inteiro. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do volume do elipsoide e entender como colocar a equação fornecida na forma padrão dessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um elipsoide. A fórmula é:
V = 43 pi a b c
Aqui, a, b e c são os semi-eixos do elipsoide nas direções x, y e z, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c a partir da equação dada e, em seguida, calcular o volume usando essa fórmula.

Passo 3

A equação do elipsoide que temos é:
36x^2 + 37y^2 + z^2 = 1332
Para usar a fórmula do volume, precisamos colocar essa equação na forma padrão do elipsoide, que é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Para fazer isso, vamos dividir todos os termos da equação original por 1332:
36x^21332 + 37y^21332 + z^21332 = 1
Simplificando as frações:
x^2133236 + y^2133237 + z^21332 = 1

Passo 4

Agora, identificamos os valores de a^2, b^2 e c^2 comparando com a forma padrão:
a^2 = 133236 b^2 = 133237 c^2 = 1332
Vamos calcular cada um:
a^2 = 133236 = 37 Rightarrow a = raiz37 b^2 = 133237 = 36 Rightarrow b = 6 c^2 = 1332 Rightarrow c = raiz1332

Passo 5

Vamos simplificar c. Sabemos que:
1332 = 36 times 37 Rightarrow raiz1332 = raiz36 times 37 = 6raiz37
Então, temos:
a = raiz37, b = 6, c = 6raiz37

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do volume do elipsoide:
V = 43 pi a b c
Substituindo os valores encontrados:
V = 43 pi (raiz37) (6) (6raiz37)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
V = 43 pi times raiz37 times 6 times 6raiz37
Multiplicando os números:
V = 43 pi times 36 times (raiz37 times raiz37) = 43 pi times 36 times 37

Passo 8

Agora, multiplicamos os números:
43 times 36 = 48
Então:
V = 48 times 37 pi
Calculando 48 times 37:
48 times 37 = 1776

Resposta

O valor de N é 1776.

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