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Seja a região do plano dada por
Qual o valor da seguinte integral?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral , onde é uma região do plano definida pela inequação . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e mudança de coordenadas, além de conceitos de cálculo de integrais sobre regiões elípticas. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A inequação descreve uma elipse no plano. Para simplificar a integral, é útil diagonalizar a forma quadrática que define essa elipse. Isso significa encontrar uma mudança de coordenadas que elimina o termo , transformando a equação da elipse em uma forma mais simples, como .
Passo 3
Vamos representar a forma quadrática em termos de matrizes. A expressão pode ser escrita como:
Aqui, usamos a matriz A = 820 & 540 540 & 505 .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores (λ) dessa matriz A. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade. Calculando:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores lambda1 = 1225 e lambda2 = 100.
Passo 5
Com os autovalores, podemos realizar a mudança de coordenadas. Definimos novas variáveis u e v que alinham a elipse aos eixos coordenados. A transformação fica:
u = xraiz140^2lambda1, v = yraiz140^2lambda2
Isso simplifica a inequação da elipse para u^2 + v^2 <= 1, que é a equação de um círculo unitário.
Passo 6
Agora, vamos expressar a função 3x - 4y em termos das novas variáveis u e v. Usando a transformação inversa:
x = u cdot raiz140^2lambda1, y = v cdot raiz140^2lambda2