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Seja E a região do plano dada por
820 x^2+1080 x y+505 y^2 <= 140^2
Qual o valor da seguinte integral?
1pi integralE(3 x-4 y)^2 d x wed>= d y
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral 1pi integralE(3x - 4y)^2 , dx wed>= dy, onde E é uma região do plano definida pela inequação 820x^2 + 1080xy + 505y^2 <= 140^2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e mudança de coordenadas, além de conceitos de cálculo de integrais sobre regiões elípticas. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E. A inequação 820x^2 + 1080xy + 505y^2 <= 140^2 descreve uma elipse no plano. Para simplificar a integral, é útil diagonalizar a forma quadrática que define essa elipse. Isso significa encontrar uma mudança de coordenadas que elimina o termo xy, transformando a equação da elipse em uma forma mais simples, como lambda1 u^2 + lambda2 v^2 <= 140^2 .

Passo 3

Vamos representar a forma quadrática em termos de matrizes. A expressão 820x^2 + 1080xy + 505y^2 pode ser escrita como:
x & y 820 & 540 540 & 505 x y <= 140^2
Aqui, usamos a matriz A = 820 & 540 540 & 505 .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores (λ) dessa matriz A. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade. Calculando:
det 820 - lambda & 540 540 & 505 - lambda = (820 - lambda)(505 - lambda) - 540^2 = 0
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores lambda1 = 1225 e lambda2 = 100.

Passo 5

Com os autovalores, podemos realizar a mudança de coordenadas. Definimos novas variáveis u e v que alinham a elipse aos eixos coordenados. A transformação fica:
u = xraiz140^2lambda1, v = yraiz140^2lambda2
Isso simplifica a inequação da elipse para u^2 + v^2 <= 1, que é a equação de um círculo unitário.

Passo 6

Agora, vamos expressar a função 3x - 4y em termos das novas variáveis u e v. Usando a transformação inversa:
x = u cdot raiz140^2lambda1, y = v cdot raiz140^2lambda2
Substituindo na expressão:
3x - 4y = 3u cdot raiz140^21225 - 4v cdot raiz140^2100 = 3u cdot 14035 - 4v cdot 14010 = 12u - 56v
Portanto, (3x - 4y)^2 = (12u - 56v)^2 = 144u^2 - 1344uv + 3136v^2.

Passo 7

A integral agora fica em termos de e :
Aqui, calculamos o determinante da matriz jacobiana da transformação, que resulta em .

Passo 8

Simplificando a integral:
1pi times 56 integralu^2 + v^2 <= 1 (144u^2 - 1344uv + 3136v^2) du , dv
Podemos separar a integral em partes:
56pi (144 integral u^2 du dv - 1344 integral uv , du dv + 3136 integral v^2 du dv )

Passo 9

Observando a simetria do círculo unitário, sabemos que as integrais de uv sobre a região serão zero, pois são funções ímpares. Portanto:
56pi (144 integral u^2 du dv + 3136 integral v^2 du dv )
Além disso, sabemos que integral u^2 du dv = integral v^2 du dv = pi4 para o círculo unitário.

Passo 10

Substituindo os valores das integrais:
56pi (144 times pi4 + 3136 times pi4 ) = 56pi times pi4 (144 + 3136) = 564 times 3280 = 14 times 3280 = 45.920

Resposta

O valor da integral é 45.920.

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