A função f(x)=llx^2+a x-2 a-4x-2, & x neq 2 -5, & x=2 é contínua. Determine o valor de f(1).

Passo 1

Beleza, você nos deu uma função definida por partes e disse que ela é contínua. Precisamos encontrar o valor de $ f(1) $. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e um pouco de álgebra para descobrir o que está faltando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ x = 2 $. Contínua quer dizer que não tem “quebra” ou “salto” no gráfico da função. Então, o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela parte de cima da função precisa ser igual ao valor que a função tem em $ x = 2 $.

Passo 3

A função é dada por:
f(x) = x^2 + a x - 2a -4x - 2, & x neq 2 -5, & x = 2
Queremos que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que:
f(x)

Passo 4

Vamos calcular esse limite. Para simplificar, precisamos fatorar o numerador.
x^2 + a x - 2a -4
Queremos escrever isso como $ (x - 2)(algo) $ porque o denominador é $ x - 2 $ e queremos que o $ x - 2 $ cancele.

Passo 5

Fatorando o numerador:
x^2 + a x - 2a -4 = (x - 2)(x + a + 2)
Veja como chegamos nisso:
  • Multiplicamos $ (x - 2) $ por $ (x + b) $ e igualamos aos termos do numerador.
  • Encontra-se que $ b = a + 2 $ para que os termos coincidam.

Passo 6

Agora substituímos de volta na expressão do limite:
limx to 2 (x - 2)(x + a + 2)x - 2 = limx to 2 (x + a + 2)
Os $ x - 2 $ cancelam, e o limite fica mais simples.

Passo 7

Agora, avaliamos o limite substituindo $ x = 2 $:
x = 2
Queremos que esse resultado seja igual a $ -5 $ para garantir a continuidade:
2 + a + 2 = a + 4
Resolvendo para $ a $:
-5

Passo 8

Agora que sabemos que $ a = -9 $, podemos calcular $ f(1) $:
a = -9

Resposta

$ f(1) = -6 $

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