A função
é contínua. Determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, você nos deu uma função definida por partes e disse que ela é contínua. Precisamos encontrar o valor de $ f(1) $. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e um pouco de álgebra para descobrir o que está faltando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ x = 2 $. Contínua quer dizer que não tem “quebra” ou “salto” no gráfico da função. Então, o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela parte de cima da função precisa ser igual ao valor que a função tem em $ x = 2 $.
Passo 3
A função é dada por:
Queremos que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que:
Passo 4
Vamos calcular esse limite. Para simplificar, precisamos fatorar o numerador.
Queremos escrever isso como $ (x - 2)(algo) $ porque o denominador é $ x - 2 $ e queremos que o $ x - 2 $ cancele.
Passo 5
Fatorando o numerador:
Veja como chegamos nisso:
- Multiplicamos $ (x - 2) $ por $ (x + b) $ e igualamos aos termos do numerador.
- Encontra-se que $ b = a + 2 $ para que os termos coincidam.
Passo 6
Agora substituímos de volta na expressão do limite:
Os $ x - 2 $ cancelam, e o limite fica mais simples.
Passo 7
Agora, avaliamos o limite substituindo $ x = 2 $:
Queremos que esse resultado seja igual a $ -5 $ para garantir a continuidade:
Resolvendo para $ a $:
Passo 8
Agora que sabemos que $ a = -9 $, podemos calcular $ f(1) $:
Resposta
$ f(1) = -6 $