podem ser reduzidas a equações com variáveis separáveis, por meio da substituição
12a) Encontre a solução geral de
12b) Encontre a soluão geral de
12a) Encontre a solução geral de
12b) Encontre a soluão geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 12a juntos! A questão nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial $ y’(x) = (8x + 2y + 1)^2 $. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente aquelas que podem ser transformadas em equações com variáveis separáveis usando uma substituição adequada. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a substituição sugerida no enunciado: $ u = 8x + 2y + 1 $. Essa substituição nos ajudará a transformar a equação original em uma forma mais simples. Vamos derivar $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ y’ $.
Passo 3
Derivando $ u $ em relação a $ x $:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é exatamente $ y’ $, que sabemos ser $ (8x + 2y + 1)^2 $ segundo a equação original.
Passo 4
Substituindo $ y’ $ na derivada de $ u $:
Agora, temos uma equação diferencial em termos de $ u $ e $ x $.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para separarmos as variáveis:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
A integral à esquerda é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente:
Multiplicando ambos os lados por 2:
onde $ C’ $ é uma constante de integração.
Passo 7
Voltando à variável original $ y $, lembramos que $ u = 8x + 2y + 1 $:
Para isolar $ y $, aplicamos a tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Dividindo por 2:
Podemos renomear a constante $ C’ $ como apenas $ C $ para simplificar.
Passo 9
Agora, vamos para o exercício 12b. A equação dada é $ (2x + 3y -) dx = (4x + 6y -5) dy = 0 $. Parece que há um pequeno erro de digitação no enunciado, mas vamos interpretar que a equação diferencial é:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Vamos identificar o tipo de equação e aplicar métodos apropriados para resolvê-la.
Passo 10
Primeiro, reescrevemos a equação para facilitar a análise:
Isso pode ser escrito na forma:
onde $ M(x,y) = 2x + 3y $ e $ N(x,y) = - (4x + 6y -5) $.
Passo 11
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como $ 3 \neq -4 $, a equação não é exata.
Passo 12
Como a equação não é exata, procuramos um fator integrante que dependa apenas de $ x $ ou de $ y $. Vamos tentar encontrar um fator integrante $ \mu(y) $ tal que:
seja exata.
Passo 13
A condição para que a equação multiplicada por $ \mu(y) $ seja exata é:
Calculando:
Substituindo $ M = 2x + 3y $, $ \frac{\partial M}{\partial y} = 3 $, e $ \frac{\partial N}{\partial x} = -4 $:
Para que a equação seja válida para todos $ x $ e $ y $, os coeficientes dos termos de $ x $ e $ y $ devem ser iguais. Isso leva a:
O único modo de isso acontecer é se $ \mu’(y) = 0 $, o que implicaria que $ \mu $ é constante, mas isso não resolve a equação. Portanto, tentaremos um fator integrante que dependa de $ x $.
Passo 14
Vamos tentar um fator integrante $ \mu(x) $. A condição para exatidão é:
Substituindo os valores:
Para que isso seja válido para todos $ x $ e $ y $, o único possível é se $ \mu’(x) = 0 $, o que novamente implica $ \mu $ constante. Portanto, não encontramos um fator integrante simples. Vamos buscar outro método.
Passo 15
Observando a equação original:
Podemos notar que $ 4x + 6y = 2(2x + 3y) $. Vamos reescrever a equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por $ dy $:
Agora, temos uma equação diferencial que podemos tentar resolver usando substituição.
Passo 16
Vamos fazer a substituição $ u = 2x + 3y $. Então:
Substituindo $ \frac{dx}{dy} $ da equação anterior:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por $ u $:
Esta é uma equação diferencial separável.
Passo 17
Vamos reorganizar para separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Simplificando a integral do lado esquerdo usando substituição:
Seja $ v = 7u -10 $, então $ dv = 7 du $ ou $ du = \frac{dv}{7} $. Também, $ u = \frac{v +10}{7} $.
Substituindo:
Voltando a $ v = 7u -10 $:
Igualando à integral do lado direito $ y + C $:
Multiplicando todos os termos por 49 para simplificar:
Onde $ C’ $ é uma nova constante.
Passo 18
Substituindo $ u = 2x + 3y $:
Simplificando:
Isolando os termos:
Podemos simplificar ainda mais, mas geralmente essa forma é aceitável para a solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ (2x + 3y) dx = (4x + 6y -5) dy $ é dada por:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.