y^prime(x)=f(a x+b y+c), b neq 0
podem ser reduzidas a equações com variáveis separáveis, por meio da substituição u= a x+b y+c
12a) Encontre a solução geral de y^prime=(8 x+2 y+1)^2
12b) Encontre a soluão geral de (2 x+3 y-) d x=(4 x+6 y-5) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 12a juntos! A questão nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial $ y’(x) = (8x + 2y + 1)^2 $. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente aquelas que podem ser transformadas em equações com variáveis separáveis usando uma substituição adequada. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a substituição sugerida no enunciado: $ u = 8x + 2y + 1 $. Essa substituição nos ajudará a transformar a equação original em uma forma mais simples. Vamos derivar $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ y’ $.

Passo 3

Derivando $ u $ em relação a $ x $:
u
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é exatamente $ y’ $, que sabemos ser $ (8x + 2y + 1)^2 $ segundo a equação original.

Passo 4

Substituindo $ y’ $ na derivada de $ u $:
y'
Agora, temos uma equação diferencial em termos de $ u $ e $ x $.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para separarmos as variáveis:
dudx = 2u^2 + 8 implies du2u^2 + 8 = dx
Simplificando o denominador:
2u^2 + 8 = 2(u^2 + 4) implies du2(u^2 + 4) = dx
Então:
duu^2 + 4 = 2dx

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
integral duu^2 + 4 = integral 2dx
A integral à esquerda é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente:
12 arctan(u2) = 2x + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
arctan(u2) = 4x + C'
onde $ C’ $ é uma constante de integração.

Passo 7

Voltando à variável original $ y $, lembramos que $ u = 8x + 2y + 1 $:
y
Para isolar $ y $, aplicamos a tangente dos dois lados:
u = 8x + 2y + 1
Multiplicando ambos os lados por 2:
arctan(8x + 2y + 12) = 4x + C'

Passo 8

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y
Dividindo por 2:
2y = 2tan(4x + C') - 8x - 1
Podemos renomear a constante $ C’ $ como apenas $ C $ para simplificar.

Passo 9

Agora, vamos para o exercício 12b. A equação dada é $ (2x + 3y -) dx = (4x + 6y -5) dy = 0 $. Parece que há um pequeno erro de digitação no enunciado, mas vamos interpretar que a equação diferencial é:
(2x + 3y -) dx = (4x + 6y -5) dy = 0
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Vamos identificar o tipo de equação e aplicar métodos apropriados para resolvê-la.

Passo 10

Primeiro, reescrevemos a equação para facilitar a análise:
(2x + 3y) dx - (4x + 6y -5) dy = 0
Isso pode ser escrito na forma:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
onde $ M(x,y) = 2x + 3y $ e $ N(x,y) = - (4x + 6y -5) $.

Passo 11

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se:
M dx + N dy = 0
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial Npartial x
partial Mpartial y = 3
Como $ 3 \neq -4 $, a equação não é exata.

Passo 12

Como a equação não é exata, procuramos um fator integrante que dependa apenas de $ x $ ou de $ y $. Vamos tentar encontrar um fator integrante $ \mu(y) $ tal que:
x
seja exata.

Passo 13

A condição para que a equação multiplicada por $ \mu(y) $ seja exata é:
mu(y)
Calculando:
ddy [mu(y) M] = ddx [mu(y) N]
Substituindo $ M = 2x + 3y $, $ \frac{\partial M}{\partial y} = 3 $, e $ \frac{\partial N}{\partial x} = -4 $:
mu'(y) M + mu(y) partial Mpartial y = mu(y) partial Npartial x
Para que a equação seja válida para todos $ x $ e $ y $, os coeficientes dos termos de $ x $ e $ y $ devem ser iguais. Isso leva a:
M = 2x + 3y
O único modo de isso acontecer é se $ \mu’(y) = 0 $, o que implicaria que $ \mu $ é constante, mas isso não resolve a equação. Portanto, tentaremos um fator integrante que dependa de $ x $.

Passo 14

Vamos tentar um fator integrante $ \mu(x) $. A condição para exatidão é:
mu(x)
Substituindo os valores:
mu'(x) M = mu(x) ( partial Npartial x - partial Mpartial y )
Para que isso seja válido para todos $ x $ e $ y $, o único possível é se $ \mu’(x) = 0 $, o que novamente implica $ \mu $ constante. Portanto, não encontramos um fator integrante simples. Vamos buscar outro método.

Passo 15

Observando a equação original:
(2x + 3y) dx = (4x + 6y -5) dy
Podemos notar que $ 4x + 6y = 2(2x + 3y) $. Vamos reescrever a equação:
4x + 6y = 2(2x + 3y)
Simplificando:
(2x + 3y) dx = (2(2x + 3y) -5) dy
Dividindo ambos os lados por $ dy $:
(2x + 3y) dx = 2(2x + 3y) dy -5 dy
Agora, temos uma equação diferencial que podemos tentar resolver usando substituição.

Passo 16

Vamos fazer a substituição $ u = 2x + 3y $. Então:
u = 2x + 3y
Substituindo $ \frac{dx}{dy} $ da equação anterior:
dudy = 2 dxdy + 3
Rearranjando:
dxdy
Multiplicando ambos os lados por $ u $:
dudy = 2 ( 2 - 5u ) + 3 = 4 - 10u + 3 = 7 - 10u
Esta é uma equação diferencial separável.

Passo 17

Vamos reorganizar para separar as variáveis:
u7u - 10 du = dy
Integrando ambos os lados:
integral u7u - 10 du = integral dy
Simplificando a integral do lado esquerdo usando substituição:
Seja $ v = 7u -10 $, então $ dv = 7 du $ ou $ du = \frac{dv}{7} $. Também, $ u = \frac{v +10}{7} $.
Substituindo:
v = 7u -10
Voltando a $ v = 7u -10 $:
dv = 7 du
Igualando à integral do lado direito $ y + C $:
du = dv7
Multiplicando todos os termos por 49 para simplificar:
u = v +107
Onde $ C’ $ é uma nova constante.

Passo 18

Substituindo $ u = 2x + 3y $:
u = 2x + 3y
Simplificando:
7(2x + 3y) + 10 ln |7(2x + 3y) -10| = 49y + C'
Isolando os termos:
14x + 21y + 10 ln |14x + 21y -10| = 49y + C'
Podemos simplificar ainda mais, mas geralmente essa forma é aceitável para a solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ (2x + 3y) dx = (4x + 6y -5) dy $ é dada por:
(2x + 3y) dx = (4x + 6y -5) dy
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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