Encontre uma aproximação linear para:
raiz(4,01)^2+(3,98)^2+(2,02)^2

Passo 1

Estamos aproximando linearmente a função f(x,y,z)= raizx^2 + y^2 + z^2 em torno do ponto (4,4,2) para estimar f(4.01,3.98,2.02).

Passo 2

Definimos o ponto base (a,b,c)=(4,4,2) e calculamos o valor de referência: f(4,4,2)=raiz4^2+4^2+2^2=raiz16+16+4=6

Passo 3

Calculamos o gradiente de f: nabla f(x,y,z)=l(xraizx^2+y^2+z^2,,yraizx^2+y^2+z^2,,zraizx^2+y^2+z^2r) Em (4,4,2) isso dá nabla f(4,4,2)=l(tfrac46,tfrac46,tfrac26r)=(tfrac23,tfrac23,tfrac13)

Passo 4

Escrevemos a aproximação linear (primeira ordem de Taylor): L(x,y,z)=f(a,b,c)+nabla f(a,b,c)cdotl((x-a),(y-b),(z-c)r)

Passo 5

Para (x,y,z)=(4.01,3.98,2.02) temos os incrementos Δx=0.01, Δy=−0.02, Δz=0.02. O termo linear é tfrac23cdot0.01+tfrac23cdot(-0.02)+tfrac13cdot0.02=0, logo a aproximação dá L=6+0=6.

Resposta

6

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