Determine as curvas de nível para as funções f dadas. Represente no plano cartesiano.
f(x, y)=x^2 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar as curvas de nível da função de duas variáveis f(x,y)=x^2y. Isso faz parte do conteúdo de funções de várias variáveis e curvas de nível: para cada valor constante k, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Começamos fixando um valor kinR e escrevemos a equação da curva de nível:
x^2y=k

Passo 3

Sempre que possível isolamos y. Para xneq0 e kneq0 obtemos
y=kx^2
Isso mostra que, para cada kneq0, a curva de nível é o gráfico de y=k/x^2, que é uma hipérbole em dois ramos simétricos em relação ao eixo y, posicionada acima do eixo x se k>0 e abaixo se k<0.

Passo 4

Para o caso especial k=0 voltamos à equação original x^2y=0. Isso ocorre se e somente se x=0 ou y=0. Portanto, a curva de nível de valor zero é a união das retas x=0 e y=0.

Passo 5

Para representar no plano cartesiano, basta esboçar várias dessas hipérboles y=k/x^2 para diferentes valores de k (positivo e negativo) e desenhar os eixos para k=0.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x^2y são, para cada constante k:
  • Se kneq0:
y=kx^2, xneq0
  • Se k=0: a união das retas x=0 e y=0.

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