Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^2 pi r sin ^2 theta d theta d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^2integral0^2pirsin^2theta,dtheta,dr
O conteúdo aqui é integração iterada em que primeiro vamos integrar em theta usando a identidade trigonométrica sin^2theta=tfrac1-cos2theta2 e depois integrar o resultado em r.

Passo 2

Colocando a constante r para fora da integral em theta, temos
integral0^2pirsin^2theta,dtheta = rintegral0^2pisin^2theta,dtheta = rintegral0^2pi1-cos2theta2,dtheta
Calculando essa integral:
integral0^2pi1-cos2theta2,dtheta =12l[theta-sin2theta2r]0^2pi =12(2pi-0) =pi
Logo o resultado da integral interna é rpi.

Passo 3

Agora integramos em r:
integral0^2rpi,dr =piintegral0^2r,dr =pil[r^22r]0^2 =picdot42 =2pi

Resposta

O valor da integral é 2pi.

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