Questão 4. Verifique se a função alpha(t)=(t^2, t ln (t)) possui limite para t 0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetorial
alpha(t) = l(t^2,,tln(t)r)
possui limite quando t to 0.
O conteúdo aqui é limite de função vetorial: sabemos que
limtto0alpha(t) existe se, e só se, cada componente tem limite finito.

Passo 2

Analisamos a primeira componente t^2.
Como t^2 é um polinômio e, portanto contínuo, temos
limtto0t^2 = 0

Passo 3

Analisamos a segunda componente tln(t) quando tto0^+.
Esse produto é do tipo 0cdot(-infty), que é indeterminado. Reescrevemos
tln(t) = ln(t)1/t
e aplicamos a regra de l’Hôpital (numerador to -infty, denominador to +infty):
limtto0^+tln(t) = limtto0^+ln(t)1/t = limtto0^+ddtln(t)ddt(1/t) = limtto0^+1/t-1/t^2 = limtto0^+(-t) = 0

Passo 4

Como as duas componentes têm limite igual a zero, o limite da função vetorial é
limtto0^+alpha(t) = l(0,,0r)

Resposta

limtto0^+alpha(t) = (0,0).

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